Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
29
Функция Ф( ^)в силу (17) преобразуется в fix), коэффициенты а* в силу
(181) и (16) примут вид
\/1 +а (Х\ с/Х
v2 +0 (х\
г-* j j V'/ к \a / / 2 2'
v я - a ~ л
функция cos представляется в виде coskp = (%/я /V2) Тк(х/а)и равенство
(26) преобразуется в такое:
оо / +о I х\ dx
f(x) = 2 7V - / /(X) Ту ---------------------|Г .
*=о \а' -а \а/ у/а1 - х
Таким путем приходим к следующей теореме:
Всякая функция fix), подчиненная единственному требованию, чтобы интеграл
+ " (fix) -/(у) J с/)'
(27)
имел определенный смысл при всех значениях х, принадлежащих какому-либо
промежутку [от, /3], лежащему целиком внутри [- а,+ а], рахюгает-ся в
этом промежутке в сходящийся ряд вида "/х\+о [Х\ dx
(?)vir?' <28)
расположенный по полиномам Чебышева Ту (х/а) (А = 0, 1, 2, 3, . . .),
определяемым равенствами (16) ,и пропорциональным полиномам, наименее
уклоняющимся от нуля в промежутке [ -а, +а |.
Равномерная сходимость рассматриваемого ряда, конечно, этой теоремой не
устанавливается.
8. Мы рассмотрели для простоты промежуток [-а, +а], но предыдущие
рассуждения легко распространяются на какой угодно промежуток [а, Ь\, где
а и Ь> а - какие угодно данные числа. Для этого стоит только вместо
прежней переменной х, связанной с р соотношением (13), ввести переменную
х при помощи соотношения вида
b - а а + Ь
х = cosр +--------- , (о)
2 2 v
а под функцией Ф ip) подразумевать функцию
(Ь - а а + Ь\
ф (V") =/f-^-COS ^ + --J .
(0)
Система ортогональных и нормальных функций (16) преобразуется в систему
полиномов
1
Т0 (х.а,*) = ~-=г,
V*
VT /2 b +а \
Ту (х,а, b) = __-cos k arccos I х---------------I,
ул \Ь - а b - а }
(29)
ул \о - а о - а /
30
нормальных и ортогональных по отношению к характеристической функции
р(х) = 1 / >/(Ь - х) (х -а),
т.е. в систему полиномов, пропорциональных полиномам Чебышева, наименее
уклоняющимся от нуля в промежутке [а, ?>].
Теорема п. 6 преобразуется в следующую:
Всякая функция f (х), подчиненная требованию, чтобы интеграл
"у ... , (30)
а \ х-у ) у/(Ь -у)(у - а)
сохранял определенный смысл при всяком значении х в каком-либо промежутке
[а, 0], лежащем целиком внутри [а,Ь\, разлагается в этом промежутке в
сходящийся ряд вида
/(*)=? Tk (X, а, Ь) ; f{x) Тк (х, а, Ь) -у--¦........--г , (31)
к - 0 а \/(Ь-Х)(Х-а)
где Тк (х,а, Ь)(к = 0, 1, 2, . . . ) суть полиномы Чебышева, определяемые
равенствами (29) и пропорциональные полиномам, наименее уклоняющимся от
нуля в промежутке [а, Ь].
9. Из доказанных общих теорем весьма просто выводятся важные для
дальнейшего следствия.
Допустим, что функция f{x) удовлетворяет следующему условию: Для всяких
двух точек хну промежутка [а, b ] имеет место неравенство
\fix)-f(y)\<p\x-y\a , (32)
где р и а < 1 суть два числа, не зависящие от х и у*) .
При этом интеграл (30), обозначенный через К, будет меньше, чем
2 " ^
11 а \х - у 12(|_а)\/(Ь - У) (У - а)
Этот последний интеграл имеет определенный смысл для всех значений х, не
совпадающих с а или Ь, коль скоро 2(1-а) < 1, т.е. коль скоро
1>о>1/2. (32')
Отсюда следует, что интеграл К, содержащий под знаком интеграла
существенно положительную функцию при всяких значениях х и у и всяком
значении х, лежащем внутри (а, Ь), имеет определенный смысл, коль скоро
функция/(х) удовлетворяет неравенству (32) при условии (32р). Теорема
предыдущего пункта приложима, следовательно, ко всякой такой функции и
приводит к следующей теореме:
Всякая функция f (х), подчиненная неравенству
\f{x)-f(y)\<p\x-у\а, (32.)
где р на суть данные числа, не зависящие от х и у, причем 1/2 < а < 1,
*) Это условие называют условием Коши - Липшица.
31
разлагается внутри промежутка \а, b J в сходящийся ряд по полиномам
Чебышева Тк (х,а,Ь) (равенства (29)) по формуле (31).
10. Если функция f'{x) удовлетворяет условию (32), то функция
при всяких двух значениях у и ф, принадлежащих промежутку [0, тг],
удовлетворяет неравенству
При этом интеграл (25) будет, очевидно, иметь определенный смысл при
всяком ip, лежащем внутри промежутка [0, тг], коль скоро 1/2 < а < 1. При
соблюдении этого условия теорема п. 6 приводит к следующей:
Всякая функция ФО/т), удовлетворяющая неравенству
где р и а суть постоянные, не зависящие от у и ф,причем 1 /2<а< 1
излагается внутри промежутка [0, тг] в сходящийся ряд вида (26) по
косинусам дуг, кратных у.
11. Легко убедиться, что интегралы А и А', при соблюдении условий (321)
и (322) сохраняют определенное значение для всех значений х и у,
принадлежащих соответственно промежуткам [а,Ь\ и [0, тг], включая и концы
этих промежутков, если а удовлетворяет неравенствам 3/4 < а< 1.
При этом разложения (31) и (26) будут иметь мест для всех точек
промежутков [а,6] и [0,тг].
Особого внимания заслуживает случай, когда а = 1, т.е. функция/(.г)
(а также и функция Ф (у)) удовлетворяет условию Коши
На основании только что высказанного можем утверждать, что всякая функция
fix), подчиненная условию Коши, разлагается во всех тчках промежутка
