Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 9

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 159 >> Следующая

В.С Владимиров
*) А.Н.Крылов. Памяти В.А. Стеклова. - В кн.: Воспоминания и очерки. -
М.:
Изд. АН СССР, 1956, с. 396-398.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию читателя сочинение В.А. Стеклова "Основные задачи
математической физики" было издано в Петрограде в двух частях: часть
первая (1922 г.) посвящена одномерным краевым задачам и часть вторая
(1923 г.) - теории потенциала в пространстве*)- Это первое посмертное
переиздание Академией наук СССР избранного труда академика
В.А. Стеклова. В этом сочинении подводится итог его многолетних
исследований по математической физике, начатых еще в 1896 г.
В части I (гл. III) В.А. Стеклов перечисляет основные задачи
математической физики и соответствующие им краевые задачи для
дифференциальных уравнений распространения тепла, распространения звука
(электродинамики и т.д.) и установившихся физических процессов для
областей одного, двух или трех измерений. Изложенная В.А. Стекловым схема
постановок краевых задач соответствует современной: на основе физических
гипотез о сущности физического процесса выводятся дифференциальные
уравнения, к ним добавляются краевые условия: начальные условия
(описывающие начальное состояние процесса) и граничные условия
(описывающие режим на границе области, где происходит процесс). Задачи
математической физики В.А. Стеклов рассматривает как математические**)
модели физических процессов. Необходимые требования, которые он
предъявляет к задачам математической физики, состоят в том, что решение
должно существовать и быть единственным. Впоследствии Ж.Адамардобавнпк
этим условиям еще условие непрерывной зависимости решения от данных
задачи, выделив важный вопрос так называемых корректно поставленных задач
математической физики.
Для решения одномерных краевых задач В.А. Стеклов использует метод Фурье
разделения переменных***) (гл. IV и XI). Для обоснования метода Фурье он
ставит и решает две задачи: (А) задача на собственные значения, (В)
разложение по собственным функциям (гл. IV).
Задача (А) состоит в доказательстве существования бесконечного (счетного)
множества собственных чисел X* (считаем lXil<|X2K. • •) и им
соответствующих собственных функций Vk(x), удовлетворяющих
дифференциальному уравнению
У *(*) + 1**Р(*) - <7(*)] Ук(х) = 0, а <х < Ъ, (1)
*) В. А. Стеклов предполагал написать и часть третью, посвященную теории
фундаментальных функций.
**) Иногда он говорит о механических моделях.
***) В.А. Стеклов также называет его методом Эйлера - Бернулли.
17
и граничным условиям (первого класса) •)
yi(b) = aVk(a)+fiVk(b), К(а) = уУк(а) - aVk(b) (2.)
или (второго класса)
УкФ) = РУк(а), У'к(Ь) = ± Ук (а) + тУк(а). (2а)
Граничным условиям (2,) или (22) соответствуют три предельных класса
(когда некоторые из постоянных а,Р,у,рит обращаются в °°) :
УМ = 0, Ук(Ь) = 0, (2')
УМ = УУМ, Ук(Ь) = 0, (2")
УМ = О, У?{Ь) = РУк(Ь). (2"')
При перечисленных граничных условиях собственные функции Ук(х) и У,{х),
соответствующие различным собственным значениям, удовлетворяют условию
ортогональности с весом р(х):
/ Р(х) Ук(х) У/{х) dx = 0 ( / р(х) У\(х) dx = 1). (3)
а а
Для исследования задачи (А) В.А. Стеклов применяет и развивает метод
Шварца - Пуанкаре (гл. V - VII). Идея этого метода состоит в следующем:
ищем решение неоднородного уравнения
Г(*)+ [М*)-<7(х)1 У(х)+Г(х) = 0, /€ С([а, Ь]), (4)
удовлетворяющее одному из граничных условий (2), в виде ряда по степеням
X:
У(х, X) = и0(х) + Хи,(х) + Х2и2(х) +------------------------------ (5)
где ик {х) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
vk{x)-q(x)vk(x)+p(x)vk_ ,(х) = 0, к= 1,2.........
и о (*) - q(x) uo(x) + /(*) = О
(6)
и соответствующим граничным условиям.
Доказывается регулярная сходимость ряда (5) в круге I Х| < р, где
р = lim , Wk= f p(x)v\(x)dx. (7)
V Wk a
При этом решение У(х, X) есть мероморфная функция X с простыми
вещественными полюсами Х=Х* и вычетами ск Ук(х) (или соответствующими
линейными комбинациями, если кратность \к равна 2). При этом р = = IX, I.
Если выбрать f(x) такой, что
f p(x)f(x)yt(x)dx = 0, (8)
а
то соответственно р = I Х21 и т.д.
*) Эта задача при а =0, <3 " 0, у > 0 называется задачей Штурма -
Лиувилля.
18
Изложенный метод Шварца-Пуанкаре В.А. Стеклов применяет и для решения
задачи (В) о разложении функции Дх) в ряды Фурье по собственным функциям
Vk(x) (гл. IX):
/'(*)= ? AkVk(x), Ак= J p(x)f(x)Vk(x)dx. (9)
к - 1 а
Сначала доказывается регулярная сходимость ряда (9) для функций Дх),
удовлетворяющих граничным условиям и таких, что f"(x) интегрируема (по
Риману) на (а,Ь). Далее, пользуясь созданными В.А. Стекловым теорией
замкнутости (гл. II) и методом усреднения (гл. 1), он распространяет
теоремы разложения на более широкие классы функций. В результате он
доказывает, что ряд (9) сходится равномерно для всех функций f(x),
удовлетворяющих условию Липшица*) в случае граничных условий (2,) и при
дополнительных граничных условиях: /(6)-р/(д) = 0 в случае(22 ),/(а) =
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed