Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 11

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 159 >> Следующая

задача Робена разрешима однозначно.
Таким образом, В.А. Стеклов, видоизменив метод Робена, полностью доказал
существование ненулевого решения р* задачи Робена.
Аналогично решаются и задачи Неймана - внутренняя и внешняя. Решение
внутренней задачи Неймана ищется в виде потенциала простого слоя
1 Р(х')
У(х)= - f - ds (22)
2тг s г
с неизвестной плотностью р. Плотность находится с помощью итераций рк,
определяемых равенством (17) с р0 = g, по формуле
Р = Ро +Pi +Р2 + • • • (23)
При выполнении необходимого условия разрешимости
/ gds= / ро ds = 0 (24)
S S
*) Для выпуклых поверхностей Ляпунова S функция р* положительна. Этот
результат вытекает также и из теоремы Ентча.
21
(и тогда в силу (19)
S pkds = 0, *=1.2-------) (25)
s
для поверхностей S, удовлетворяющих принципу Робена (20), справедлива
оценка
\pk(x)\<NTk, к= 1,2,..., теХ (26)
Отсюда следует, что ряд (23) сходится регулярно, определяя непрерывную
функцию р. Этим существование решения и его представимость в виде
потенциала простого слоя (22) доказаны.
На языке теории интегральных уравнений формулы (17) и (23) суть не что
иное, как последовательные приближения для интегрального уравнения
Фредгольма
1 , cos ф
Р(*) = - f Р(х) -~ c/s+?(*), XGS. (27)
2it s г2
cos ф
При этом X = 1 есть характеристическое число ядра -и союзного ядра
2 кт2
cos ip , ,
(ip - угол между нормалью п в точке * G S и направлением * - * ) и
2-пг2
р* и 1 - соответствующие собственные функции. Поэтому в соответствии с
теоремами Фредгольма возникает условие разрешимости (24) интеграль-ногр
уравнения (27) и его решение определено с точностью до слагаемого Ср*.
Отсюда, в силу (22), сразу следует, что решение внутренней задачи Неймана
определено с точностью до аддитивной постоянной.
Подчеркнем особо, что сходимость метода последовательных приближений для
интегрального уравнения (27) доказана на характеристическом числе. Здесь
мы имеем пример глубокого использования специфики задачи.
Решению задач Дирихле (внутренней и внешней) посвящена глава 111. Решение
внутренней задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя
1 , cos ip
W(x)= - /р(х') - ds (28)
2тг s г2
с неизвестной плотностью р. При этом искомая плотность р представляется в
виде ряда
/4=4 [pto ~(Mi - Mo) + (М2 - Мi) - - - - J, (29)
где ро = / и
1 , cos
рк(х)= ----- f р*_,(х) -- ds, *=1,2 xGS. (30)
2 п s г
Доказывается, что для поверхностей 5, удовлетворяющих принципу
Робе-
на. сграведлив и принцип Неймана:
1р*(х)-р*_,(лг)| <Nrk, к= 1,2,..., 5, (31)
так что для таких поверхностей S внутренняя задача Дирихле разрешима в
виде потенциала двойного слоя.
22
Далее рассматривается задача о представлении решения задачи Неймана в
виде потенциала двойного слоя, а также задача Гаусса о представлении
решения задачи Дирихле в виде потенциала простого слоя. Получено
необходимое и достаточное условие на /, обеспечивающее существование у
решения задачи Дирихле правильной нормальной производной.
В главе IV рассматриваются простейшие задачи математической физики,
сводящиеся к задачам Дирихле или Неймана: о вихревом движении жидкости,
об установившейся температуре, построение функций Грина.
Наконец, в главе V доказывается справедливость принципа Робена (20) и,
стало быть, всех предыдущих результатов для произвольных поверхностей
Ляпунова. Доказательство основывается на фундаментальной теореме Пуанкаре
- Зарембы: пусть Vk, к = 1,2,...,- потенциалы простого слоя с
непрерывными плотностями; тогда для любого е > 0 существуют такие числа р
и а*, к = 1,..., р, что для функции V = <*i Vt +... + <*pVp будут иметь
место неравенства
(I - е) / I grad К |1 dx < / | grad V |2 dx <
о' D
<(1 +e) / I grad К I* dx. (32)
D
Следует отметить, что В.А. Стеклов в своих исследованиях не пользуется
систематически ни теорией интегральных уравнений, ни теорией интеграла
Лебега, хотя знал работы, опирающиеся на эти теории. Применение этих
теорий значительно сократило бы изложение, особенно в вопросах
существования, и дало бы возможность рассматривать более общие задачи.
Отметим в связи с этим, что в части II В.А. Стеклов излагает теорию
потенциала по работам 1896-1902 гг., когда этих теорий еще не
существовало. Кроме того, непосредственное применение теории интегральных
уравнений (особенно это касается части I) дает худшие результаты, чем те,
которые получены
В.А. Стекловым методами, специально приспособленными для рассматриваемых
краевых задач.
Далее, многие результаты по математической физике, полученные в течение
XIX в., уже не удовлетворяли в конце XIX и начале XX веков новым
повышенным требованиям строгости. Уточняя старые и создавая новые методы,
В.А. Стеклов закрывает пробелы в доказательствах его предшественников,
распространяет результаты на более общие случаи. В этом он видел главную
задачу: строго установить саму возможность разрешимости классических
краевых задач и вывести нужные свойства решений; рассмотрение же более
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed