Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
[а,Ь\ в сходящийся ряд вида (31) по полиномам Чебышева
Точно так же всякая функция Ф(^), подчиненная условию Коши, разлагается
во всех точках промежутка [0, тг] в сходящийся тригонометрический ряд
вида (26).
12. Функция Дх) , удовлетворяющая условию (33), есть функция
ограниченной вариации в любом промежутке [ а. /3], принадлежащем
промежутку [а, 6]. В самом деле, сумма
где хк обозначают ряд промежуточных значений х в промежутке (а, /3 ], a /
- длину промежутка [а, /3]. Это неравенство показывает, что полная
вариация функции Дх) не превосходит определенного предела и что .эта
32
|Ф(*)-Ф(*)|<д^у-|
IЬ-а\а
| COS 1/т - cos ф \а <
|Ф(*т)-Ф(*)|<д|*т-*Г ,
(322)
\f(x)-fiy)\< р\х -у\.
(33)
Тк (х, а, Ь).
2 1Дх*)-Я**-|)К М
вариация стремится к нулю одновременно с ее соответствующим промежутком.
На основании теоремы Лебега *), строго доказанной затем Витали **), такая
функция может быть представлена для значений х промежутка \а,Ь\ в виде
/(*)= ffAz)dz+A, (33>)
а
где /, (х) есть функция, подчиненная единственному условию быть
интегрируемой в промежутке [а, 6]***), А есть некоторая постоянная.
Обратно, из условия (33 j) сейчас же вытекает неравенство (33).
Таким образом, условие (33,) эквивалентно условию Коши.
13. Пользуясь этим обстоятельством, докажем следующую теорему: Всякая
функция Ф(</з), удовлетворяющая условию Коши в промежутке [О,я],
разлагается во всех точках этого промежутка (включая и концы его) в
равномерно сходящийся тригонометрический ряд вида (26), причем если
положим
П
Ф(^) = 2 ak cos к<р + р" (цс), к= О
то модуль остаточного числа рп (<р) не превосходит т/у/п, где т- конечное
положительное число, не зависящее от п
Если Ф(ф) удовлетворяет условию Коши, то по предыдущему
Ф(х) = ) <t>i(4>)d4i + A (у)
О
и к интегралу 1 *
Ok =-S Ф (ф) cos кф d\jj
п о
можем применить теорему интегрирования по частям****) .Таким путем
получаем
1 " Ьк
ак=- S Ф, (^)sin к ф dф= - • ка о к
Так как по предыдущему ряд 2 ак cos к сходится и сумма его равна Ф (ф),то
0
bk
рп (ф) 2 ак cos к^ = 2 -cos ку. (34)
к = n+ I k-n + I к
*) Lebcsgue. Le<;ons sur ('integration ct la rcchcrhe dcs fonctions
primitives. -Paris, 1904, p. 129.
**) V i t a 1 i. Sulle funzioni integrali. - Atti della R. Accad. di
Torino. Torino, 1905 Vol. XL, p. 1021.
DelaVallec Poussin. Cours d' Analyse, T. 11.
***) Конечно,здесь под функцией/, (лс) нужно понимать интегрируемую по
Лебегу ограниченную функцию. (Прим. ред.)
****) См. по этому поводу, например, A. Liapounoff, "Sur I'equation de
Clairaut et les equations plus generales" (Me'm. de l'Acad. des Sciences
de St. Petersbourg, Cl. Ph. М., Vol. XV, n. 10, p. 5 et. 6).
33
Отсюда на основании известного неравенства Коши (см. п. 5, неравенство
(23))
|р"(^)|< у/ ? bi C0S t < У 2 bl I у/п. (34,)
А- - п + I к - п + 1 к к = 1
Но система функций (у/2/у/л) sin ( к = 1, 2, 3, . . .) есть система,
орто-
гональная по отношению к характеристической функции р(х) = 1 в промежутке
[0, л\ и притом нормальная. Поэтому, в силу неравенства (8),
? *Аг<Т / 4>и*)'** = т2 .
А= I 2 "
Неравенство (34,) приводится, следовательно, к таковому:
\Рп 0р)|< т/у/п , (35)
имеющему место при всяком значении в промежутке [0, л]. Из этого
неравенства следует, что
|ф(^>) - ? ак cos&ip|< е при п >п0 , (36)
А - О
где е - наперед заданное положительное число, не зависящее от <р, п0, -
есть целое число соответствующим образом выбранное.
Неравенства (35) и (36) и доказывают высказанную в начале пункта теорему.
^
14. Если теперь вместо переменной введем переменную х при помощи
соотношения (а) и воспользуемся равенством (/3), то из доказанной теоремы
выведем, подобно тому, как в п. 8, следующую:
Всякая функция ]\х), удовлетворяющая в промежутке [а, Ь\ условию Коши,
разлагается во всех точках этого промежутка (включая и его концы) в
равномерно сходящийся ряд вида (31), расположенный по полиномам Чебышева
Тк (х, а, Ь) (к = 0, 1, 2, . . .).
При этом, если положим
п ь dx
f(x) = ? Тк(х, а, Ъ) ; f(x) Тк ix, а, Ъ) ¦¦ -гу + Р"(х),
А = О a y/ib - х) ix - а)
то модуль остаточного члена разложения не превосходит числа т/у/п.
Таким образом, приходим к теореме о приближенном представлении
непрерывных функций при помощи полиномов и тригонометрических сумм весьма
простого вида, причем устанавливается и порядок приближения, который, как
видим, не ниже 1/ у/п.
15. Мы знаем, что порядок наилучшего приближения, который способен
доставить какой бы то ни было полином степени п для функций,
удовлетворяющий условию Коши, как раз равен 1/л*). В мемуаре, указанном в
примечании, мною доказано также, что порядок наилучшего при-
*) См. но этому поводу, например, мой мемуар "Sur quelques applications
nouvel-Ics de la thebric dc fermeture"(Mdm. de l'Acade'mie des Sciences
de St. Petersbourg, Cl. Ph.
М., Vol. XXXII, n. 4).
34
ближения при помощи тригонометрических сумм из п членов или полиномов
степени п и для функций, допускающих их представление в виде интеграла
