Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (6) показывает, кроме того, что при всяком п
1 Al < /р (л)/: (x)dx. *8)
* = I а
3. Рассмотрим, в частности, бесконечный ряд функций 'Pk (^)= Ск cos кр
(9)
при к = 0, 1, 2, ..., где ск - некоторые постоянные.
Функции (9) образуют систему, ортогональную по отношению к функции
р (р) = 1 (Ю)
26
в промежутке [Q тг], ибо
1Г 1Г
/ 'PmW'Pn (x)dx = ст с" / cosmpcosnpdp = 0, (11)
о о
каковы бы ни были постоянные ск .
Определив каждое ск из условия
я я
fpk{x)dx = ск /cos kpdp = I,
0 о
получим Со = I/я, с\ = 2/я (к = I, 2,3,...).
Получим ряд тригонометрических функций вида
1 х/21 V? V?
Т=г • -т=г- '-¦os<p, -=¦ cos2i/>, ..., -prcoskp, ..., (12)
\Гя V я х/я >/я
образующих систему, ортогональную по отношению к характеристической
функции (10) и нормальную.
4. Введем вместо переменной р новую переменную х при помощи
соотношения
x=acosp, (13)
где а - какое-нибудь положительное число.
Когда р изменяется от 0 до я, переменная х будет изменяться от +я до - а.
Функции (9) преобразуются в
/ х\ х
рк I arccos - I = ск cos к arccos- \ а/ а
т.е. в полиномы степени к от х/а , отличающиеся лишь постоянным
множителем от полиномов Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля в
промежутке [ а, + а]. Обозначим эти полиномы через
Тк\х/а). (14)
Равенства (11), преобразованные к переменной х,дают +я / *\ dx
-^ = 0. - х1
Отсюда видим, что полиномы (14) образуют систему, ортогональную в
промежутке [ - я, + я] по отношению к функции
/?(*) = I / х/я2 -х2'. (15)
Очевидно, если положим с0 = I / х/я, ск = х/Т/х/я (А: = 1, 2, 3,...), то
получим полиномы нулевой, первой и т.д. степеней вида
То (~) = Тк(-\cos к arccos -, (16)
\а/ х/я \я/ х/я я
образующих систему, ортогональную по отношению к характеристической
функции (15) и нормальную.
27
5. Рассмотрим функцию
<1'(?>)=/(я cos*)=/(x), (17)
подразумевая под /(х) функцию, интегрируемую по х в промежутке от - а до
+а . Положим
П
S" = ? ак cos к ifi, (18)
* = о
где
а0 =-/ Ф(ф)^ф, я о
2 я
ak=-f Ф (ф) cos кф(1ф (к = 1, 2, 3,... ). (18,)
я о
Можно написать
S" = - / Ф (ф) 11 + 2 ? cos к \р • cos кф\ Цф. (19)
Я о I * = 1 )
Будем подразумевать под у какое-нибудь определенное его значение, взятое
в промежутке [0, я], и заменим в этом равенстве под знаком интеграла Ф
(ф) через Ф(^) • Получим тождество
Ф(^) = -/ ФЫЬ + 2 ? cosк<Р • cosкф\йф. я о I * = 1 >
которое совместно с (19) приводит к равенству
Ф(|?)-5п=- / (Ф (i^) - Ф(ф))(1 + 2 ? cask у • cos кф\(1ф. (20)
я о 1 * = 1 )
Заметив, что
П
1+2 ? cos к \р • cos кф = к = 1
COS nifi • COS(n + \ )ф - COS (Л + 1) tfi • cos пф
COS.ll - COS Ф
и введя обозначения
Ф(?>)-Ф(|//)
/?(",*)= - (21)
COS - COS l//
bk= -f Р(*р,ф) cos кф 4ф , (22)
я о
приведем равенство (20) к виду
Ф (^) - S" = - b" + 1 cos гчр + b" cos (л + 1)
Отсюда, воспользовавшись известным неравенством Коши (д, bi +а2Ь2 +
...+а"Ь")2 <
< (а\ + д22 + ... + а2" ) (Ь\ + Ь\ +... +fc2 ) , (23)
справедливым при всяком целом л для всяких вещественных чисел ак и Ьк 28
(к= 1, 2, 3, ...,п) , выводим неравенство
|Ф(*)-5Я \<^у/Ы+Ы+ (24)
6. Допустим теперь, что функция f(x) предьщутего пункта удовлетворяет
следующему условию:
" V>(fW-f(y)\ dy
Интеграл А =/ I--------I -у г имеет определенный смысл
при всех значениях х промежутка [а,/)] .лежащего целиком внутри [-а. +а].
Если мы заменим в этом интеграле х и у соответственно через a cosи a cos
iK то получим, на основании (21),
1 тг I Ф (^) - Ф ($ | 2 1 ТГ
------------- <ЛИ~/ F2(*, Ф)ёф.
а" о I'cos $ - cos ф I а о
It .
При сделанном предположении интеграл /F (*р, ф) dфсохраняет,
следовательно, определенный смысл при всех "значениях <р, принадлежащих
промежутку [а, /3], лежащему в (0, тг].
Применяя теперь неравенство (7), справедливое для любой системы
ортогональных функций, к рассматриваемому частному случаю ортогональных
функций (12), заключаем, что при всяком данном $ в промежутке
[а./5]
\Ьп\ < е/2, |Ьп+ , | < е/2 при п > п0 , (7,)
где е - наперед заданное положительное число, п0 - соответствующим
образом выбранное число. При этом основании (24) и (18) будем иметь
П
|Ф (ifi) -2 ак cos к*р| < е при п> п0.
к~ О
Это неравенство доказывает следующую теорему:
Всякая функция "I" ($), удовлетворяющая единственному требованию, чтобы
интеграл
тг /Ф(^т) - Ф (ф) \2
------------Г d* (25)
0 \ cos у - cos ф/
имел определенный смысл при всех значениях $ из какого-либо промежутка
[а, /3], лежащего целиком внутри промежутка (0,я] .разлагается во всех
точках этого промежутка по функциям cos к у (к = 0, 1, 2, . . . ) в
сходящийся ряд следующего вида:
ее
Ф($)= 2 ак coskip , (26)
к = о
гдеак суть коэффициенты, определенные формулами (18t).
Само собой разумеется, что предыдущие рассуждения, устанавливая
разложения вида (26) и сходимость ряда правой части этого равенства, не
доказывают равномерной сходимости этого ряда в промежутке (0,я], ибо
число е в неравенствах (7,) может, вообще говоря, зависеть от взятого
значения i.
7. Возвратимся теперь к переменной х, связанной с i соотношением (13).
