Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
* = I
Умножив это равенство на р(х) р"(х) dx и проинтегрировав результат от а
до Ь, получим, в силу (7), ь
S"(F) = f р(х)р"(х) оп(х)dx +
а
+ / Р(х) [F(X) - Ф(х)] р"(х)dx. (8)
а
3. Выведем одно неравенство, которым часто придется пользоваться,
называемое обыкновенно неравенством Шварца, но указанное задолго до него
Буняковским. Рассмотрим разность
ь ь
D = f р(х) F2 (х) dx / р(х) Ф2 (х) dx -
а а
-U p(x)F(x)Ф(x)dx)2 = Dt -D2-
а
Первый из интегралов можно представить под видом двойного интеграла D, =/
/ р(|)р(7?^2(|)Ф2(7))</|</7,=
а а
= f fp(V) Р (I) F2 (7J) Ф2 (f) d%dn.
а а
Отсюда
D\ =7//Р(1)Р(Ч)[/;'2(1)Ф2(Ч) +
2 а а
+ F2(п) Ф2 {%)}d%di\.
Далее, легко видеть, что
D2 = f f Pi I) Pin) F( I) F(t,) Ф(|) Ф(т,) d%dr).
a a
40
Следовательно,
d = d, ~d2 = -± j /p({)p(t?)X
? a a
X {F{$) ф(1?)-F(V) ФШ}2 di-dr),
т.е. так как функция p(x) по условию не отрицательна в промежутке \а,Ь\,
то если D> О, причем р(х) > 0 для а <х <Ь, то знак равенства возможен
лишь когда Ф(дг) = F(x).
Таким образом, приходим к упомянутому в начале пункта неравенству*)
( f Р(х) F{x) Ф(дг) dx )2 <
а
< / р(х) F2(x) dx f p(x)<t>2(x)dx. (9)
a a
4. Применим неравенство (9) к интегралам правой части уравнения (8).
Имеем, согласно с принятым в п. 1 обозначением,
I S P(x)p"(x)on(x)dx |<
а
< у/ 5 Р(х) Рп(х) ¦ yf s р(х)о2п(х) dx = \/Sn(F) \/5ч(Ф),
а а
I f р(х)р"(х) |F(*) - Ф{х)\ dx | <
а
< sfS^F) J * p(x)\F(x)-4>{x)\2dx.
а
Следовательно,
yfSAF)< \/S"(Ф)'+ J f р(x) [F(jc)~ Ф(дг)]2 dx. (10)
а
Этим основным неравенством, справедливым для каких угодно двух функций
F(x) и Ф(дг) и для всякой ортогональной системы функций *рк(х) с
неотрицательной в промежутке \а,Ь\ характеристической функцией р{х), мы
часто будем пользоваться в дальнейшем.
5. Допустим, что система (1) ортогональных (и нормальных) функций Ф*(х)
замкнута по отношению ко всякой непрерывной функции Ф(дс), имеющей
интегрируемую производную первого порядка в промежутке [в, Ь\. Из
уравнения замкнутости (3) следует, что при этом, задав произвольно
положительное число е , можно найти такое целое число п = п0, что
5п(Ф) <е2 при п>п0. (11)
*) Это неравенство легко выводится также из условия положительности
кваДратич-
Ь
ной относительно аргументов а и 0 формы f р(х) \aF(x) - 0<Hx)]2dx.
а
41
Пусть /(дг) есть какая угодно непрерывная в промежутке \а, Ь\ функция,
которая может и не иметь производной. Воспользуемся вспомогательной
функцией Ддг) п. 16 гл. 1:
1 x+h
Д*) = ~ f f(j)dz.
И х
(39)
Если Ддг) непрерывна, то Ддг) допускает первую производную, которая равна
рывна, то, выбрав соответствующим образом число И, будем иметь для всех
значений z между х и х + И и при всяком дг*):
где е есть наперед заданное положительное число. При этом при всяком х
Положим теперь в неравенстве (10) Е(х) = Ддг), Ф(дг) = Ддг). При
сделанном условии относительно Ддг) будем иметь в силу (12) при
соответствующем выборе И :
Так как, с другой стороны, система функций дг) замкнута по отношению ко
всякой функции, имеющей интегрируемую производную, а функция Ддг) имеет
таковую (и притом непрерывную) при всяком Л , то на основании (11) и при
только что указанном выборе И можем найти такое п0,что
S"(ip)<e2 при п>п0. (14)
При этом неравенство (10) дает yjsn(f) < е(1 +Q) при п>п0, т.е.
5"(/)<е' при п>п0,
где в ' обозначает положительное наперед заданное число.
Это неравенство приводит к такой теореме:
Если некоторая система ортогональных функций с характеристической
неотрицательной в данном промежутке [а,Ь] функцией замкнута относительно
всякой функции, допускающей первую производную, интегрируемую в
рассматриваемом промежутке, то эта система непременно замкнута и по
отношению ко всякой функции, подчиненной единственному условию
непрерывности в том же промежутке.
h х
l/(z) - Ддг) I < е,
1Д.т)-/(*)! < е.
(12)
f р(х) \f(x)-*(x)]2dx <Q2e2,
а
Q2 = f р(х) dx> 0.
(13)
а
*1 Разумеется, я рассматриваю всюду лишь равномерную непрерывность.
42
6. Из этой теоремы, как следствие, вытекает следующее предложение. Если
система функций Дх) замкнута по отношению ко всякой функции,
имеющей в промежутке [а, Ь\ интегрируемую производную какого-либо порядка
р, то она переменно замкнута по отношению ко всякой функции, допускающей
такую же производную, лишь (р - 1) -го порядка.
Применяя последовательно зто предложение, справедливое при всяком р,
придем к следующей теореме:
Если система рассматриваемых функции <рк(х) замкнута по отношению к любой
функции, имеющей в данном промежутке интегрируемую производную какого-
либо порядка р, то она непременно замкнута и по отношению ко всякой
функции, только непрерывной в том же промежутке.
7. Предположим теперь, что функция Дх) подчинена единственному условию
быть интегрируемой в промежутке [а,Ь\. В этом случае вспомогательная
функция Дх) (формула (39)) будет непрерывной в [а,Ь\. В самом деле,
обозначив через S некоторое произвольное число, имеем
1 X + h+6 X+h
Дх + 6) - Дх) = - ( / f(z)dz - f f(z) dz ).
