Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
общих задач, требующих привлечения понятия интеграла Лебега, в то время
еще не назрело и предназначалось будущему.
Сочинение В.А. Стеклова ''Основные задачи математической физики" не
потеряло интерес и для современного читателя: оригинальны методы
исследования, например доказательства и применения своеобразных теорем
вложения с оценками постоянных в главах IV и V части II, а также
интересные исторические экскурсы, показывающие, как развивалась
математическая физика в XIX в., как результаты, нестрого доказанные,
постепенно становились доказанными строго*).
*) В этом отношении развитие математической физики в XIX в. сильно
напоминает развитие современной математической физики.
23
При подготовке настоящего издания большую работу по редактированию
провели В.П. Михайлов (часть I) и А.К. Гущин (часть II). Были исправлены
явные опечатки, а также мелкие неточности. Эти мелкие неточности,
проистекающие из стиля изложения и легко исправляемые по контексту,
сводятся к следующим: не всегда оговариваются все условия, не всегда
ясно, идет ли речь о замкнутой или открытой области (интервале), о max
или sup, о положительной или неотрицательной функции (числе), об
убывающией или невозрастающей последовательности, встречаются выражения
типа "для каких угодно функций" или "представляется под видом интеграла".
Вместе с тем замечено некоторое количество мест (особенно в части И), в
которых содержатся погрешности в доказательствах. В этом случае в
соответствующих местах авторского текста пришлось сделать изменения с
сохранением (по возможности) стиля автора; эти места отмечены в
подстрочных примечаниях. Сделано также большое число подстрочных
примечаний редакторов с разъяснениями тех или иных мест текста.
2 сентября 1981 г.
B.C. Владимиров
ЧАСТЬ I
Основные задачи математической физики для тел линейных размеров
ГЛАВА I
Системы ортогональных функций данного вида; нормальные системы;
тригонометрические функции; полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от
нуля. Разложение функций в тригонометрические ряды и в ряды по полиномам
Чебышева.
Приближенное представление функций при помощи полиномов. Обобщение
теоремы Вейерштрасса
1. Обозначим через р (х) функцию от х, которая остается неотрицательной в
промежутке изменения х от а до b(b > а), т.е. сохраняет в этом промежутке
либо положительные, либо равные нулю значения, и не равную нулю
тождественно. Промежуток изменения какой-либо переменной от а до b (Ь>а)
будем обозначать через [а, Ь\. Функцию р (х) будем предполагать
интегрируемой в обобщенном смысле Римана *) в промежутке [а, Ь\
Обозначим через
(*), 'Pi (*) Фк(х),... (1)
ряд (ограниченный или неограниченный) функций, вполне определенных и
непрерывных в промежутке [а, ft].
Если функции \рк (х) удовлетворяют условиям
ь
S Р (*) <Рт (х) Vn (x)dx = 0 при пФт, (2)
а
то мы будем называть совокупность функций (1) ортогональной системой по
отношению к функции р (х), а эту последнюю - характеристической функцией
ортогональной системы (1).
Если функции <рк (х) (Л = 1, 2, 3, ...) удовлетворяют условиям
I Р(х) <pl (х) dx = I (*=1.2,3----), (3)
а
то такую систему будем называть нормальной.
2. Обозначим теперь через / (х) функцию, которая может обращаться и в 00
в некоторых точках промежутка [а, Ь\, но интегрируемую в этом промежутке
в обобщенном смысле Римана. Предположим, что и квадрат
*) См., например, J о г d a n,"Cours d' Analyse de Г Ecole Polytechnique"
(Paris, 1893, Т. I, p. 31 etc; Т. II, p. 50 etc.); см. также С. М.
Никольски й,"Курс математического анализа", т. 1 (2-е изд. - М.: Наука,
1975).
25
функции }'(х) есть также интегрируемая функция в рассматриваемом
&
промежутке, так что не только интеграл //(х) dx, но и интегралы
0 0 ¦>
ff2(x)dx, fp(x)f2 (x)dx, где а и (3 - два каких угодно числа, при над-
or or
лежащие промежутку [a, i>], имеют определенный смысл.
Допустим, что система (1) есть система ортогональная и нормальная, и
положим
/(*) = i Акрк(х) + р" (х), (4)
к = I
где п есть какое-либо целое число,
Ак = / р (x)f(x)pk (x)dx. (5)
а
Умножая (4) нар (х)/(х) dx и интегрируя результат в пределах от а до Ь,
получаем, в силу (2), (3) и (5),
/ р (x)f2 (x)dx 1 А:к = fp(x)p2,(x)dx> 0. (6)
a к -- \ a
Из этой формулы, справедливой при всяком п, выводим следующее
предложение:
Какова бы ни была система функций рк (х) (к = 1,2,3, ...) данного вида,
нормальная и ортогональная в некотором промежутке [а, b\ по отношению к
данной функции р(х). интегрируемой в этом промежутке и неотрицательной,
ряд
- А \ * Ak= f р (д: )/(*) ^ (.V) dx
к = I а
есть ряд, всегда сходящийся, какова бы ни была функция )'(х),
интегрируемая в промежутке [а, b \ вместе с ее квадратом и произведением
p(x)f2(x).
Отсюда следует, что, задав произвольно положительное число е , которое
можно взять сколь угодно малым, можно найти затем такое целое число п =
п0, достаточно большое, что будет иметь место неравенство
I А"\ < с при п >пь. (7)
