Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
/'(*)= / /,(*)*+ А,
а
где f\ (х) - не только интегрируемая функция, но еще и ограниченной
вариации в промежутке [а, 6], также не происходит 1/л и что такого рода
приближение дается при сделанном условии тригонометрической суммой
п
2 akcosk$ (37)
* = о
и соответственно полиномом степени п вида
2 Tk(x,a,b)f f(x)Tk(x,a,b) -====. (38)
*=0 а V (о -*)(*- О)
Последний результат легко выводится из формулы (34).
Если в равенстве (7) функция Ф, (<р) не только интегрируема, но и
ограниченной вариации в промежутке [0, я], то
1 I" В
|Л*| = - / Ф, (ДО sin кфс!ф <- , я I <> к
где В - конечное число. Это неравенство вытекает сейчас же из известной
теоремы о средних *).
1 В
Равенство (34) дает при этом |р"(<ДО| <В 2 -< -.откуда и выте-
*=н+1 к п
кает только что упомянутая теорема о порядке приближения, доставляемого
суммой (37) для непрерывных функций, удовлетворяющих условиям этого
пункта.
Такая же теорема о порядке приближения, доставляемого полиномом
(38) для функций рассматриваемого типа, выводится из только что
доказанной при помощи преобразования переменной tр к переменной х по
формуле (а). Подобным же путем получаются и некоторые другие теоремы о
приближении функций при помощи полиномов, указанные в упомянутом выше
мемуаре, но мы не будем здесь на этом останавливаться.
16. Предположим теперь, что функция f(x) подчинена единственному
условию быть интегрируемой в промежутке [а,Ь\. Вводим вспомогательную
функцию
1 х + h
*(*)=- / f(z)dz, (39)
Л X
где Л - произвольное число, отличное от нуля. Можем написать
х + h h х + ft
/ j\z) dz=f f(z) dz + f f(z)dz. x x h
Ho
XYf(z)dz =/ f(t + h)dt.
h о
•) С. J о rd a n. Coursd'Analyse, T. 1. - 1893, n. 68, p. 55;T. 11 -
1894, n. 215, p. 220.
C.M. Никольский. Курс математического анализа, т. 1. - М.: Наука, 1973.
35
Следовательно,
* / Vodi = f mdt+/ at+h)dt=s \f(t+a) -/ (oj л+л, ,
х дг о о
h
где A, = / f{x) dt. Поэтому для всякого x, принадлежащего промежутку
[а,А], °
'P(x) = f <Pi (z)dz +A , (39,)
a
где А есть постоянная, равная
/ I(z) dz + - / fit) dt, о A •
/(z+A)-/(z)
*>i (z) ----------------------------------------------------- (40)
A
есть функция, которую можно считать интегрируемой во всем промежутке [а.
А], каково бы ни было А. В самом деле, функция/(х) определена лишь в
промежутке [a, AJ; когда г изменяется от а до А, в выражении правой части
равенства (40) войдут значения fix) при значениях х, принадлежащих
промежутку [А,А + А], где функция Дх) остается неопределенной. Можно
всегда продолжить эту функцию на весь этот последний промежуток так,
чтобы функция Дх) была интегрируемой во всем промежутке [а, А + А ],
каково бы ни было данное число А *). При этом функция (z ), определяемая
равенством (40), будет, очевидно, интегрируемой во всем промежутке от а
до А. Получим, таким образом, функцию <Дх), удовлетворяющую условию (39,)
для всех значений х промежутка [а, А].
17. К вспомогательной функции <Дх) применима теорема п. 14. Положим
Рп ix) =2 Тк ix, a, A) f <Дх) 7* (х, а. А) ¦ ** т . (41)
* = о a V(A - х) (а - х)
На основании этой теоремы можно утверждать, что, каково бы ни было число
А, всегда можно выбрать п так, что
МО-Л, (г) к е/2, (42)
где е - наперед произвольно заданное положительное число.
Предположим теперь, что в промежутке [а. А] существует такая точка
1 x + h
(или точки) х, для которой выражение- / Дг) dz стремится к опреде-
А х
ленному пределу при А-*¦(), т.е. что существует для этого значения (или
значений) х такое положительное число А0, что при всяком А, |А| <А0,
*) Здесь и далее в аналогичных рассуждениях функцию /(х) удобно считать
продолженной на всю числовую ось, например, следующим образом: }{х) =
/(а) для х < а и f(x) - f(b) для х > Ь. Напомним, что функция /(х)
интегрируема по Риману и,
следовательно, ограничена. (Прим. ред.)
36
F- имеет место неравенство
1 х + Л 1 х + Л
lim - / f(z)dz-~- / f(z)dz
ь-о h х h x
<-^ при | Л | < Л0 • (43)
Взяв какое-либо определенное значение h , мы можем всегда выбрать п столь
большим, что неравенство (42) будет удовлетворено одновременно с
неравенством (43) при одном и том же наперед заданном положительном числе
е . При этом неравенства (42) и (43) дадут
I lim Х /' f(z)dz - Р"(х)\<е Л'" о Л х
- неравенство, которое доказывает следующую теорему:
Для всякой точки х промежутка [а, Ь], где для интегрируемой в этом
промежутке функции Дх) выражение
1 х + Л - / №dz
h х
стремится к определенному пределу при h -* 0, можно найти такое число Л0,
достаточно малое, и целое число п0, достаточно большое, что полином
степени п0 вида
Р" (х) = 2 Тк (х, а, Ь) / Дх) Тк(х, а, Ь) г , (44)
0 к = о о у (Ь - *) (х - а)
где
1 х + Л0
Дх) = -- / Дг)Л,
Л0 х
дает приближенное выражение для
1 х + к
lim - jf f(z) dz л-о Л х
с наперед заданным приближением е.
18. Мы получаем указанным путем весьма простое доказательство общей
теоремы, из которой, между прочим, выводится, как весьма частный случай,
известная теорема, носящая название теоремы Вейерштрасса и являющаяся
