Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
f(b) = = 0 в случае(2'), f(b) = 0 в случае(2"), f(a) = 0 в случае (2'")
(гл. IX).
При некоторых дополнительных предположениях относительно чисел а, /3, 7,
р и т и функций р(х) и (Дх), обеспечивающих неотрицательность собственных
значений \к, доказывается регулярная сходимость ряда (9) и дается оценка
погрешности, если f(x) удовлетворяет перечисленным выше условиям (гл. X).
При этих же предположениях в главе XI доказывается существование и
единственность решения смешанной задачи
ъи b2U
р(х) - = - - q(x) U, U\t;0 =/(*) (10)
bt Ъх2
(с граничными условиями типа (2)) и представимость его в виде ряда Фурье
по собственным функциям Vk (х):
U(t,x)= ? Аке~^'Ук(х). (11)
к ? I
Для смешанной задачи
ъ2и ъ2и 3 U
Р(х) ТТ = 77 tflf-o =/(*)• ~
Эг дх2 д t
= /.(*) (12)
¦ о
(с граничным условием (21) при /3 < 0. у > 0. а2 +07< 0) доказывается
существование и единственность решения и представимость его в виде ряда
Фурье по собственным функциям Vk(x)
U(t,x)= 2 (Ак cos х/"^Г t + Вк sin SbOVkb). (13)
*= I
где
Лк = / P(x)f(x) Vk{x)dx,
а
Вк = -== I р(х)Д(х) Vk(x)dx (14)
V А* а
при более ограничительных условиях: /(х) и f,(x) принадлежат классу
В.А. Стеклов называет это условие условием Коши.
19
С1 ([a, b J) и удовлетворяют граничным условиям (21), f"(x) удовлетворяет
условию Липшица на (a, b), a /V(x) интегрируема на (а, й); р(х) > 0 и
q(x) > 0 удовлетворяют условию Липшица на (а, Ь).
Аналогичный результат получен и для граничных условий (2'). В этом случае
дополнительно требуется: /"(а) = /' (*) = 0.
В главах VIII и X В.А. Стеклов указывает на важность условий
ортогональности (3) для справедливости развитой им теории и приводит
соответствующие примеры. Хотя в то время в математической физике и не
встречались несамосопряженные задачи, В.А. Стеклов указывает на интерес к
таким задачам с точки зрения чистого анализа, разработки особых более
общих методов. Здесь он ссылается на труды О. Коши, А. Пуанкаре, Дж.
Биркгофа и др.*)
Часть II посвящена исследованиям задач Дирихле, Неймана и Робена**) в
трехмерном пространстве, выполненным В.А. Стекловым за период 1896-1902
гг.
Напомним, что задача Дирихле состоит в нахождении гармонической функции
U(x) в области D, непрерывной в замкнутой области D и принимающей на
границе ее S заданные значения /. Задача Неймана состоит в нахождении
гармонической функции U(x) в Д для которой правильная нор-
мальная производная - существует на 5 и принимает заданные (непре-Ъп
рывные) значения g. Аналогично ставятся и внешние задачи Дирихле и
Неймана, причем на бесконечности требуется выполнение условий***)
Задача Робена состоит в нахождении плотности р* на 5, потенциал простого
слоя которой есть величина постоянная в области D (задача о равновесии
электричества на проводнике S ).
Глава I носит подготовительный характер и посвящена изучению общих
свойств гармонических функций, а также объемного потенциала и потенциалов
простого и двойного слоев. Для поверхностей Ляпунова****)(с показателем а
= 1) даются доказательства основных теорем Ляпунова. В частности
.получено достаточное условие на плотность,при котором потенциал двойного
слоя имеет правильные нормальные производные (четвертая теорема
Ляпунова). Приведен пример, показывающий, что это условие неулучшаемо.
Решение задач Робена и Неймана для выпуклых поверхностей Ляпунова
содержится в главе II.
Задача Робена сводится к нахождению ненулевого решения однородного
интегрального уравнения
*) Дальнейшее развитие теория несамосопряженных операторов для
дифференциальных уравнений получила в трудах М.В. Келдыша. Им было
введено важное понятие m-кратной полноты.
**) Задачи Неймана и Робена В.А. Стеклов называет также основными
задачами гидродинамики и электростатики соответственно.
***) Условия (15) являются следствием гармоничности V (х) и условия V
(•") =0.
•***) Термин введен В.А. Стекловым.
ьи
U(x) ~ 0(1/Ixl), grad U(x) = 0(1/1 х|2),
(15)
(16)
20
где г = 1* - *'1 и ф - угол между направлением (внешней) нормали п в
точке x?Sh направлением * - х'. Решение интегрального уравнения (16)
строится методом последовательных приближений с помощью итераций
Рк(х)= ~~ 5 Рк-\(х) ds, к= 1,2,..., xGS, (17)
2тг s г
где Ро(*) - произвольная функция на S, удовлетворяющая условию
/ po(x)ds=M>0, (18)
s
и тогда, в силу формулы Гаусса,
/ pk(x)ds= f p0(x)ds = М. (19)
S S
Следуя Стек лову, будем говорить, что поверхность Ляпунова удовлетворяет
принципу Робена, если существует такое число г? (0, 1), что для любой ро
итерации рк удовлетворяют неравенству
lp*M - Pk-\(x)\<Nrk, к= 1,2,..., (20)
при некотором N = N(p0) >0. (Доказывается, что выпуклые поверхности
Ляпунова удовлетворяют принципу Робена.)
Для поверхностей S, удовлетворяющих принципу Робена, итерации
рк(х) сходятся равномерно на S, определяя непрерывную функцию*)
р*= Нш рк =р0 +(Pi -Ро) +(р2 -Pi) + • • • (21)
на S - решение интегрального уравнения (16). При этом для любого М
при условии
/ p'(x)ds = M s
