Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
г;, f и, следовательно, рк есть функция координат той постоянной точки
поверхности (5), расстояние которой от переменной точки р(?, 17, f)
обозначено через г. Если обозначим координаты этой постоянной, по
отношению к интегрированию, точки через х, у, г, то р* будет функцией
этих последних координат. Обозначим теперь через ds' элемент поверхности
(5), если будем брать интеграл по переменным х, у, г от какой-либо
функции этих переменных, распространяя его на всю поверхность (5).
282
Умножаем (10) на ds и интегрируем результат по всей поверхности (5). Так
как рк есть непрерывная функция координат, то, меняя порядок
интегрирования в правой части равенства, получаем
,1 ,/ 'OS ф \ 1 / COS Д
f Pkds = - ids ^/р*_ i --- dsJ = 5 Рк-1 г" ds j ds>
ибо в интеграле с элементом ds' постоянной считается точка р(?, 17, f), а
переменной - точка х, у, г, а потому угол ф обращается в угол р. Отсюда
на основании теоремы Гаусса выводим
5 pkds = /р*_,Л (12)
- равенство, справедливое при всяком к и приводящее к такому:
/ Pkds = iPods. (12,)
Если искомая функция р определяется равенством р = lim рк, то должно быть
к~°°
i pds = i Pods, т.е., при соблюдении условия (11),
iPods =М. (13)
Сопоставляя все сказанное, приходим к заключению, что для решения задачи
о распределении электричества методом Робена необходимо доказать
следующую теорему.
Теорема I. При произвольном выборе исходной функции р0, подчиненной
условию (13), последовательно определяемые уравнением (10) функции рк
стремятся при беспредельном возрастании к к определенной функции р,
действительно удовлетворяющей уравнению (7) и условию (11).
S. Кроме того необходимо еще доказать, что полученное таким образом
решение есть единственно возможное.
Для -этого стоит только показать, что может существовать одна и только
одна не равная нулю функция р, удовлетворяющая одновременно уравнению (7)
и условию (11). Допустим противное, что существуют две различные,
отличные от нуля функции р, и р2, из которых каждая удовлетворяет
уравнению (7) и условию (11). Положим
, CV5 Ш
S Р -i- ds, i р ds = 0. (15)
Р =РI -Рг- (14)
Очевидно, функция р должна удовлетворять условиям
, 1 . , fos ф
Р = - / Р-
2п гг
Составим потенциал простого слоя У' с плотностью р'\
у' = ; ± ds. г
По теореме Пуассона
bV] ЪУ' ЪУ, , cos ф
я Т" ="Г~ + fp-Г Us = 2 *р>
Ъп Ъп Ъп г
283
ъу;
откуда, в силу (IS), ------- =0,т.е.
Ъп
У' = С внутри (5), (16)
где С есть постоянная. Положим
И, = / - ds. (17)
г
Так как р, также удовлетворяет уравнению Робена, то
Vt =С, внутри (5), (17,)
где С, - другая постоянная, которая должна быть отлична от нуля, ибо Pi
предполагается не равным нулю.
В самом деле, если бы С, было нулем,то гармоническая функция У1 была бы
нулем во всем пространстве (см. теорему I гл. I), причем мы имели бы
(18)
Ъп Ъп
ЪУи ЪУ1е
Но по теореме Пуассона из (17) выводим -------------- - = 4пр,. Отсю-
Ъп Ъп
да следует, что равенство (18) невозможно, если р, не нуль; следовательно
С, не нуль.
Умножаем равенство (16):
t
/ ds = C г
на Pids' и интегрируем результат по всей поверхности (5). Получаем, в
силу (17), (17,) и (15),
СМ
т.е.
= /Pi (/- <*) ds = /р'(/ -у- ds'jds = С, /p'ds = О,
У' = С= I - Л-0.
г
Отсюда на основании теоремы Пуассона заключаем, чтор'= 0,т.е. р, =р2, что
и доказывает следующую теорему.
Теорема II. Может существовать одна и только одна функция р,
удовлетворяющая уравнению Робена (7) и условию (11).
6. Переходим теперь к доказательству теоремы I. Взяв какую угодно
функцию ро, составим последовательно ряд функций
1 1
Для рассматриваемых нами поверхностей по теоремам Ляпунова (гл. 1)
^существуют нормальные производные от всех функций У|, У2 Ук и,
следовательно, составление этих функций только что указанным способом
всегда возможно.
Из этих равенств сейчас же выводим следующие:
ЪУ| 1 cos ф
- = - /Р° Г~ ds'
Ъп 2я г
ЪУ2 _ 1 ЪУL cos ф
Ъп 2я ^ Ъп г2
(20)
ЪУ-к = J_ ЪУк-1 COS ф Ъп 2я Ъп г2 Сравнивая эти равенства с (10), видим,
что ЪУк
Рк= (* = 1,2,3,...). (21)
Ъп
Таким образом, все функции рк (* = 1,2, 3,...) являются нормальными
производными на поверхности (5) от потенциалов простого слоя Ук,
определяемых равенствами (19).
Применим к гармонической функции Vk-\ формулу Грина (36) гл. I. Получаем
для всех точек внутри (5):
1 cos"p 1 / 1
Ук-х = *- / Ук-х -г1 А+ - / - ¦ - Л-
4я г1 Ъп г
Предположим, что точка, к которой относится выражение Ук _, левой части
этого равенства, приближается к какой-либо точке поверхности (5), и
перейдем к пределу. Обозначив первый и второй интегралы правой части
соответственно через W и W', можем писать 4яГ*_| / = Wt + И'/. Но в силу
свойств потенциалов простого и двойного слоя (пп. 17 и 33 гл. I,
равенство (111)) Ук-xj = Ук-х> Wj~ W', Wj = W + 2яУк_|, где в правых
частях подразумеваются значения соответствующих функций на поверхности
(5). Эти равенства и предыдущие приводят к следующему:
1 cosy? 1 ЪУк-х ,¦ 1
Ук-х = - /Ук-, -Г ds+ Т- f - ds'
