Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
cos I? + о
R2, где а' есть определен-
ная постоянная.
Всегда можем взять R0 столь малым, что неравенство (161) будет
соблюдаться для всех точек площадки (о,), т.е. I д - д° | < Хг{>. При
помощи зтого неравенства и предыдущего получаем
/(д Д°)( 2/ Sldu)do\ о
, , cos &
<2nXa'R2 f -с/оi. го р
(169)
Но, подразумевая теперь под рии полярные координаты переменной точки р
площадки (а,), можем писать
cos &
, _ 27 л ЛГ" pdp с/о, = } аы J
о
2ir dp
R rl-e
> ЛГ К,
< f du f
R P
2n / 1 1 \ 2jt
1 -0 ( Л1-* ~ Ri-** ) < 1 - 0 R
Следовательно,
/ (д-д°) ( / < -- R0 1,
'о / I 1-0
т.е. в силу (168), 2тг
2 It
f Jidu о
< -R4+l = a"R&*1, 1 -0
(169,)
где a - новая определенная постоянная.
53. Рассмотрим последний интеграл равенства (164). Подобно предыдущему
имеем
/ J'du = /(д-д°)( / Sldo})dst. о о
(170)
Заметим, что неравенство (150) справедливо для всякой точки, лежащей вне
площадки (о), т.е. и для точек части (5,) поверхности (5), на которую
распространяется последний интеграл; равенство (166,) также справедливо
для любой точки д(?. 7}, f) поверхности (5). Так как для любой точки
р
[ 1 1 I I/ Зачасти (5,) [ -: - - < ег,,
где с есть определенное число, и |( ?, - +
I г- г-0 I IV д?
\ \
+ 7?, --------- I COS & I = I J-, COS (//J;) +77, COS (/777) 1 <
Г, , ТО
077 > I
< сг].
276
Далее, на основании (150) для любой точки р части (S,)
+Ф?1 \
)г"
К
1 1
тг _ тг - 3
Г Г о
Го
COS 10
< c'R
>02
где с есть также определенная постоянная. Наконец, cost)
- < с А •
гл
При помощи этих последних трех неравенств, положив, как и в п. 50,
Л = 3г,, (171)
выводим из (166)
\П \ < Иг].
При этом равенство (170) дает
2л
Из равенства (164) при помощи (165)), (169,), (172) и (171) получаем
< Х,г?+\
2я
/ J (103
О
< 2доЛ5,Г? < gri.
(172)
1 I 2я
- / (W| - W0)du
2я о
где X1 есть определенное число.
Очевидно, что для точки р, соблюдается неравенство (53') п. 18,
вследствие чего только что полученное неравенство можно представить в
виде
1 2я * г^'х.р^1 =хУ+|.
2л
2/ (Wi ~ W0)da> о
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема Ляпунова (пятая). Если напряжение д потенциала двойного слоя
таково, что около каждой точки р0 поверхности (S) как центра можно
описать такую сферу, хотя бы и весьма малого, но определенного
(одинакового дм любой точки р0) радиуса
Р\ <D,
что дм всякой точки р этой поверхности, лежащей внутри сферы, имеет место
неравенство
| Д - Д° | <\А, 0 < 1, то потенциал двойного слоя удовлетворяет условию
1 | 2я
- / (W-W0)du
2 я о
< хУ+\
где р есть расстояние точки р от нормали к (S) в точке р0.
(173V
271
ГЛАВА II
Конвексные поверхности.
Основная задача электростатики (задача о распределении электричества).
Решение этой задачи методом Робена. Принцип Робена.
Решение основной задачи гидродинамики (задачи Неймана) методом Робена
1. В настоящей главе мы будем рассматривать один частный вид поверхностей
Ляпунова, присоединив к условиям (а), (Ь) и (с) (п. 17 гл. I) еще одно
дополнительное ограничение. Предположим, что поверхность (5)
удовлетворяет еще следующему условию:
(d) Все точки поверхности (S), какова бы ни была точка р0 этой
поверхности, лежит по ту строну плоскости, касательной к (S) в ючке р0, в
коюрую направлена внутренняя нормаль к (S') в точке р0.
Мы будем называть такие поверхности конвексными.
Возьмем какую-либо другую точку р на поверхности (5) и обозначим через ф
угол, составляемый направлением рр0 с. внешней нормалью п0 в точке ро, а
через \р - угол, составляемый направлением Pop с нормалью п в точке р.
Очевидно, что для конвексной поверхности, где бы ни находились на ней
точки р и р0, углы фи*р меньше я/2, т.е. при всяком положении точек р и
До на поверхности (5)
cos^>0, cosi0>O. (1)
Около каждой точки р0 как центра можно описать сферу радиуса R<D,
достаточно малого, но определенного и не зависящего от положения зтой
точки на поверхности, такую, что для любой точки р той же поверхности,
лежащей вне площадки (о), вырезанной упомянутой сферой на поверхности
(S), будет
cos $>m0, cos ф>т0 вне площадки (о), (2)
где т0 есть определенная положительная постоянная. Кроме того, для любой
точки р вне (о) будем иметь
cos ф 1
< - вне площадки (о),
г R
ибо для всякой такой точки расстояниер0р = r>R.
Предположим теперь, что точка р находится на площадке (о). Принимая точку
ро за начало прямоугольной системы координат ?,)?,? с осью f,
направленной по нормали п0, получаем г cos ф = -f. Так как f
удовлетворяет неравенству (54) гл. I (п. 18),то
cos ф
0<---------- <Ь на площадке (о).
г
Обозначив через 1/Д> наибольшую из величин 1/D и Ь, будем иметь
cos ф 1
< - для всех точек р0 и р поверхности (S). (3)
г Do
2. Под задачей о распределении электричества понимается следующая задача:
278
Найти такую плотность р электрических масс, распределенных по поверхности
(5), чтобы слой этих масс не оказывал действия на точки, лежащие внутри
поверхности, иначе говоря:
Найти такую плотность р потенциала простого слоя
