Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(5) она испытывает разрыв, причем
где под W подразумевается значение этой функции для точки р0.
Теорема Гаусса. Если напряжение р = 1, то для любой точки поверхности (S)
cos Iр
W=f-ds = 2n, (112)
для любой точки, лежащей внутри (S), cos Iр
В--/-- Л = 4я, (112,)
г
а для любой точки, лежащей вне (S),
Останавливаться на доказательстве этих основных в теории притяжения
теорем мы не станем; читатель может найти их в любом трактате по теории
притяжения **).
34. В большинстве сочинений по теории притяжения и анализу доказывают
также, что при указанных выше условиях потенциал двойного слоя W
имеет определенные внешнюю и внутреннюю нормальные произ-
ЭW, bWe ЬW, ЬWe
водные - и - во всех точках поверхности (5), причем ;- = - .
_ Ъп Ъп Ъп Ъп
Однако это утверждение, вообще говоря, несправедливо.
Даже для простейшего случая конвексных поверхностей (т.е. таких, которые
пересекаются любой прямой не более чем в двух точках) мож-
* ) Мы употребляем обозначения, принятые в п. 9 и там объясненные.
**) См., например, Пикар (Emile Picard) 'Traitc' d' Analyse" (Paris,
1891. pp. 121,127), также и другие сочинения, указанные выше (примечание
к п. 16).
Щ= W+2irp°, We= W-2irp°,
(111)
w=s-r ds = 0-
r
COS ip
(H2a)
258
но подыскать сколь угодно примеров, когда нормальные производные
потенциала двойного слоя с непрерывным напряжением д обращаются в
бесконечность в некоторых точках поверхности.
Приведу для примера один, простейший. Предположим, что замкнутая
конвексная поверхность (5) имеет плоскую часть (о), ограниченную,
например, кругом радиуса /?*). Поверхностный элемент этой части (S)
обозначим через do, поверхностный элемент оставшейся части (5) -через
ds\. Можем писать
д cos ф Д cos и? д cos ф
W = f--- ds = f --- do + f-- dst=Wt + W2. r r r
Поместим начало координат в центре площадки (о) (в точке р0), за ось z
возьмем направление нормали п к поверхности (5) в точке р0 и на этом
направлении нормали возьмем точку Р внутри (5), находящуюся на расстоянии
\z\ от точки р0. Имеем
'dW.
3*,^,^, r/эиа 1
Эи Эи Эи Эи )р \ Эи )РJ
(а
Очевидно, выражение | I стремится к определенному пределу,
" h Э Wj
когда Р приближается к до (при z ->• 0 ). Нормальная производная - бу-
Ъп
дет иметь определенное значение в точке р0 тогда и только тогда, когда
/ЭИ^Д 3JV,
будет существовать определенный предел lim I I = lim
г-* О \Эи }р z-г О Ъг Допустим, что для точек площадки (о)
д = Ар,
где р = \/*W\ X - определенное число. Имеем cos у - \ z |/\/р2 + z2\ г2 =
р2 +z2, do = pdpdco. Следовательно,
R р2 dp Wi=2v\\z\f
о (р2 + z2)3'2
= 2яХ \z I !-. + In (/? + \f Л1 + z2) - lnV?'
I, yjR2 + z 1 *
Очевидно, что производная по z от функции
-2[ln("+^T?)- :7=i=7]
сохраняет определенное значение при z = 0, но производная по z от
остальной части z In (- z), равная In z + 1, обращается в бесконечность
при 2 = 0.
*) Строго говоря, такая поверхность не удовлетворяет приведенному выше
условию конвексности. Однако, как легко видеть, в этом примере плоскую
часть поверхности можно заменить, например, частью сферы достаточно
большого радиуса. (Прим. ред.)
259
Одно условие непрерывности функции р, как видим на приведенном простом
примере, оказывается недостаточным для существования нормальных
производных от потенциала двойного слоя. Выяснение достаточных условий,
при который потенциал двойного слоя действительно имеет внутреннюю и
внешнюю нормальные производные, и строго определенное решение этого
вопроса даны были впервые только в 1898 г. Ляпуновым в его уже
цитированном мемуаре "Sur certaines questions qui se rattachent au
probleme de Dirichlet", анализ которого мы подробно разовьем в следующих
пунктах.
35. Возьмем по-пержнему какую-либо точку р0 на какой-либо поверхности
Ляпунова и примем ее за начало прямоугольной системы координат, ось г
которой направим по нормали л к поверхности (5) в точке р0. Взяв,
Ш,-
как в предыдущем пункте точку Р на этой нормали, получим Э W
= -- , причем z будет считаться положительным, когда Р лежит вне по-Эг
верхности (S), и отрицательным, когда Р лежит внутри (5).
Возьмем вместо W функцию
(и - и0)cos и cos . cos
Wx = J - ¦ ds= f-r-^ ds-д0./-1- ds. (ill')
r r r
На основании теоремы Гаусса можем писать
/ Э1У \ _ bWj \ Эл }р Ъг где,в силу (111'),
(112')
ЭIV, / dcosyj 1 2
= /(д-д°){- ----------- г- -- cosip jJs. (ИЗ)
Ъг \ Ъг г2 г*
Ъг \
COS (й IJs.
Ъг I
Взяв какую-либо другую точку р поверхности (5) с координатами ?, tj, f и
обозначив через п направление внешней нормали к (S) в этой последней
точке, получаем
? , V , S - г ,
cos \р = - cos (л х) + - cos (л у) + cos (л г), (114)
г г г
f2 =? +V2 +(f-z)2. 014.)
Ъг f - г Э cos у 1 f - г
Отсюда - = ------------- , =-----(? cos (л х) + tj cos (л .у) + (f-
Ъг г Ъг г г
- г) cos (л г)) -- cos (л z). Следовательно,
Э cos iji 1 2 Ъг f - г , '
- г- - -у - cos * = --- {? cos (л дг) + 17 cos (л у) +
Ъг г Г Ъг гг
_ 2(f - г) cos б
+ (f-z)cos6)+ -:--------------------- cos"p--- , (115)
