Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ + г2 - 2r0ri cos а. Так как. по предположению,
и так как для всякой точки р, лежащей вне площадки (o),R< р, то
If'l < bp'2.
(146)
Д!
+ I $' IJ cos д' < (а у/Тp'r + bp'2 ) cos д' < а'г2 cos д', т.е.
I cos 1 <a'r cos д' < а'г.
(147)
I cos "Ро I < a'r0 cos д < а'г0,
(147.)
где д есть угол между нормалями п и п0.
Заметим еще, что для точек р и pt, лежащих на площадке (о0),
If I < bp2. If, | < bp],
(1472)
(148)
r, <RI2-
(148,)
r, <p/2 <r0/2.
При этом из известного разложения по полиномам Лежандра
(!482)
выводим r0/r = 1 + (г, /г0) cos а + 20r^ 1г%, где 0 есть величина,
численно меньшая единицы. Отсюда легко получаем следующие неравенства:
г% , , г,
-- - 1 - 3 - cos а г г0
< 23 ,
г о
г о I г\ г0
-4 -1 < 14- , - <9.
г3 I г0 г3
(149)
(149,)
Но cos а =
Й1 +Wt +ffi
Следовательно, 3 (г,/г0) cos а = 3(??, +
ГоГ 1
+ Wt)lro +3ff,/ro . При помощи этого равенства и неравенства (148) и
+ W1
(149) выводим
з
и, на основании (148,),
+rmi
1 1
" 73 _3
'о
'•о
< 6
< 23
Л_
Го
3 р?
+----------- <24
4 ri
Л
Го
Rг Го
Неравенства же (149,) дают
1
1
Го
R
< 14 - < 7 - , 'о г%
<
Го
(150)
(150,)
47. Обозначим теперь значения потенциала двойного слоя и cos ф W = /---
----г-1 ds
в точках ро ир, соответственно через Wo и W, и рассмотрим разность
/ COS Iр COS lo
Wi -W0= f ~
rl
j ds,
Выбираем точку р, указанным выше способом и обозначим интегралы того же
вида, что и в правой части этого равенства, но распространенные на
площадки (о), (о,) и часть (S,) поверхности (S), соответственно через J,
У, и У', причем будем иметь
Wx - Wo =У+У, +У'. (151)
Рассмотрим интеграл
/ COS tfi COS \fio \
распространенный на площадку (о). Так как в этом случае переменная точка
р, по координатам которой ?, т?, f совершается интегрирование, остается
всегда на площадке (а), то имеют место неравенства (147) и (147,),
которые дают
/ cos O' cos д v
\J\<a'po[f-- do+ f --- do j, (152)
где под До можно подразумевать максимум д на всей поверхности (S).
270
Воспользуемся опять построением п. 21, обозначив через do' поверхностный
элемент площадки (o'), вырезаемой на (5) цилиндром вращения радиуса R1 =
4R с осью, направленной по нормали п,; величина R подчинена одному
условию (144), которое может быть заменено, например, равенством /?=/)/
10, причем получим
/?, =2D/5 < Dj2. (153)
При этом предположении получаем
, cosil . ^ , 1 , ^ , da
Г ----------- da < / - da < f - .
г г г
Но
da' p'dp'du}
f- =f г •
Г Г COS 17,
где д 1 есть угол между нормалями пип, в точкахрир,.
Так как г > р' и в силу (153) имеет место неравенство (см. п. 19) cos д,
> > 1/2, то
cos? do < f < 2 J dp'doj' = 4л/?, = 16л/?. г г
Очевидно, далее, что
/ -COS - do < f dpdcj = 2л/?. r0
Эти неравенства и (152) приводят к следующему:
I/ | < \Srra'p0R = <//?, (154)
где а есть определенное число, одинаковое для всех точек р0 поверхности
(S).
48. Переходим к интегралу
/ COS кр cos 1^0 \ ,
= I Р\ -j- 5- )da 1,
V г rl !
Им
+ (- - - ^r0cos^0- (155)
rl
распространенному на площадку (oi). Имеем
cos ^ cos г cos $ - r0 cos <ро j 1 1
Г2 Го г3 \ г" гб
Из очевидных равенств
Г COS *р = (5 - 5,) cos (w$) + (tj - 7J|) COS (W7J) + (f - f) cos (/if).
r0 COS ^0=5 cos (w?) + n cos (mj) + f COS (/if) выводим
r0 cos ^o - г cos $ = ?i cos (w?) + tj, cos (nr)) + f i cos (/if) =
( 9f 9f \
= (-"1 - -4. - + fij cos<>. (156,)
(156)
271
Отсюда
I Го COS sfio - т COS sfi | < ( \J ?1 + TJi ' X
X УЦ) + ^ j- j + If, I) cosi?<(*ri +a \Z?rtro)cosd,
и так как для всех точек р площадки(ot) соблюдается неравенство(1482 ),то
I т cos ifi - Го cos ifi01 < ^ - + a \/3 j Г\Г0 cos d = b'r^o cos d.
Воспользовавшись, наконец, вторым из неравенств (150t), находим
г cos ч>- г0 COS "Л, \ ^П1_, Г\
----------5 1 < 9b -- cos д.
Г I гЬ
Далее, второе из равенств (156) дает
I cos "ft, I < (aV3 + b)r0 cosfl.
При помощи этого неравенства и (150t) получаем
(157)
(157.)
Ki - -У--
COS *fio
< 14(av^ +6) cosi" = *"-^ cos 0. (1572) T 0 TI
Из (155), (157) и (1572) выводим неравенство
cos i
cos lo to
< (9b' + b") -7 cos d = a" -\ cos d, to n
справедливое для всех точек р площадки (oi) ¦ Следовательно,
COSI" " In r" pdp
\JX I < а Рогi / -- dot - a Pofx f d<o f
-- <
Г о ' 0 R rl
" 2r" л RP df> i " ,Ro
< a poti J d<o j -- = 2ira p0t\ In -
0 R p К
49. Найдем, наконец, высший предел модуля интеграла COS |^о
(158)
/ со
COSI 2~
Го
распространенного на всю часть (51) поверхности (5).
Из равенства (156t), справедливого для любой точки р, выводим
I Г COS \р - Г о COS 100 I <
< \/ТГ+чТ V COS2 (п$) + COS2 (ПТ)) + Ifl К Г! +brj < crt, где с есть
определенная постоянная. Следовательно,
Г COS - Г0 COS ifio
< Г' = cVl' АО
(159)
так как для всякой точки р, лежащей в части (51) поверхности (S), г > R0.
272
Далее,
r0 cos( -V- -7) < "''з ;°' 0*о +г0г + г2) <с"г,, (159,)
\ Г Тц ' I т То
так как I г - г01 < г,, а 1/г и 1/г0 в части (5,) не превосходят
некоторого определенного предела.
При помощи Q59), (159,) и (155) получаем
