Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
ГГ Г
ибо согласно принятому обозначению cos (л'г) = cos (л'л) = cos д. 260
Так как
(?-?)/г = - cos (рР, п) =- cos ф, (115,)
то правая часть равенства (115) при помощи (114) приводится к виду cos ,9
+ 3 cos ip cos ф
г3
Приняв в расчет только что сказанное и равенства (112'), (113) и (115),
получаем
(-Л - эи/*
^ Эп )р дг
ЭИ/, , д-д1
о
= / --- (cos д + 3 cos у cos ф) ds. (116)
дг г3
36. Строим опять (см. п. 19) цилиндр вращения радиуса R с осью,
направленной по оси г (по нормали п к (5) в точке р0) > и
воспользуемся
следующими обозначениями Ляпунова.
Интеграл правой части равенства (116), распространенный на всю часть (50)
поверхности (5), лежащую вне площадки (о), вырезанной только что
построенным цилиндром, обозначим через
?2(г,Я)- (117)
При этом можем писать
?2(z,0). (118)
Тот же интеграл правой части равенства (116), распространенный на
площадку (о), представится в виде разности
J2(z, О) - J2(z, R). (119)
/ dW \
Предельное значение - | ¦ . | , когда точка Р совпадает с точкой р0,
\ Эл }Р
представится в виде
П(0,0), (120)
а интеграл правой части равенства (116)*), распространенный на площадку
(о) - в виде
?2(0,0) - ?2(0,/?). (121) 37. Рассмотрим сначала разность (119).
Вводя опять цилиндрические координаты р, со и f, можем писать
2я R / 3COSIPCOS Ф \ и-и0 Sl(z,0) - ?1(2,R)= f ^ (122)
Обозначим теперь через r0 расстояние переменной точки р от точки р0 >
через ip0 - угол, составляемый направлением р0р с нормалью п в точке р .
Так как
cos сро = ~~~ cos (п'х) + - cos (п'у) + - cos (n'z), (122,)
Го Го Го
*) Для случая, когда точка Р совпадает с ра.
261
f ?
то равенство (114) можно представить в виде /• cos ^ = г0 | -cos(n'x) +
\г0
Г) , Г , \
+ - COS (п'у) + COS (nz) - Z COS (n'z) = Го COS Vo - z cos i9. Приняв BO
''o ro j
внимание это выражение cos v и равенства (114,) и (115,), получаем
1 / 3cos<pcos г3 \ cos i9 }
= -+ - J (г2 +ri - 3(Г - z) V
г г5 \ cos д )
С'р2 +C"lzl
Аналогично неравенству (95,) имеем
г5 (р2 +z2)5/2
(р2 +Z2)5/2
т е- ТТ = ТТ-ГТ7Г ^ +8iP2 + ft 1^1). где Itfi I <С', а |^2 | < С". От-
г {р +г*у'*
сюда
1 / 3 cos v cos ф \ р2 - 2z2
Т ( 1 +----------------о--------------- Г Та ¦ 2 \5 /2 (1 +^,/Э + ft
Ы) +
г \ cos д ) (р +z ) '
1 / , г0 cos <а> \
+ 3 f2+zf-3(f-z)_J_ . (123)
Г \ COS0 /
38. Найдем высший предел модуля выражения последней строки этого
равенства.
Обозначим через а угол, составляемый радиус-вектором р точки р с нормалью
л' к (5) в этой точке. Имеем
- cos (п'х) + - cos (лУ) = г0 г0
Р , р cos а
= - (cos со cos (л х) + sin со cos (л у)) -------- .
Го Го
При помощи этого соотношения и равенства (122,) получаем
г0 cos Vo ~ Р cos ск + J cos i9. (124)
эг эг ЭГ .
Заметив, далее, что - = - cos со + sin со, выводим из этого равен-
Эр Э? дт)
df cos a
ства при помощи (64) *) следующее: - = . Следовательно, в сидр cos в
г0 cos Vo df
лу (124),--------------=f -Р Отсюда при помощи (53,) и (54)
cos д Эр
*) С заменой в них и, на п', а{,, rj, и f, на т, и f. 262
выводим неравенство
Го COS \ро
cos О
< {2a\fT+b)p2 =срг, (124!)
где с есть определенное число.
При помощи этого неравенства и (54) получаем
f2 + zf-3(f z) --1~0S^°- I < с\p4 + c2 Izlp2, cos v |
где Ci и с2 суть, очевидно, определенные числа, одинаковые для всех точек
поверхности (5).
Приняв, наконец, в расчет неравенство (903), приходим к следующему:
I' 1 ( /¦" COS <р0 \| ,,,
-3-1 Г1 +rf-3(f-z) -------------- ) <25'2
I г \ cos д /1
с,р4- + с2 Izlp2 ^
< 25/2
(р2 + z2)5'2 t'i(P2 + г2)2 + с2 lz |(р2 +z2)
(р2 +Z2)5'2
Поэтому можем положить
1 / , /V, cos <р0 \
j f + zf - 3 (f - z) -- 1 = r \ cos 0 J
_ Л5120 fi(P2+г2)2+C2lzl(p2+z2)
(p2+z2)5'2
где 0 есть величина, подчиненная условию I в | < 1.
39. При помощи предыдущего равенства можем написать (123) в виде
1 / cosfcosip \ р2 - 2z2 Q
г3 ^ cos А / (p2.+ z2)5^2 (р2 +z2)5^2 ^ ^
где положено Q = (gtp2 +g2 IzI) (p2 - 2z2) + 25/20[ci(p2 +z2)2 +c2lzl(p2
+ + z2)].
Так как, очевидно, Ip2 -2z2| <2(p2 +z2), to
IQ| < A j z| (p2 +z2) + B(p2 +z2)2, (126)
где /4 и В суть определенные числа.
Равенства (122) и (125) приводят к такому:
2п К (р2 -2z2)p
i2(z, 0) - S2(z,Л)= / da) f ^ (p-p°)dp +
о о (p +zir/''
ЛГ Л I/L/
+ / c/co /------------------------------------------------------t-tjt
(p -n )dp. (127)
о о (p +z ) '
263
40. Заменим в только что полученном равенстве z на - z. Получим
2гг R (р2 -2Z2)p
П( Z, 0) - ?2(--z, Л)= / с/со / -; -- (р-р°)с/р +
о о (р1 +z* У2
2 я R PQ'
+ / c/w / ----------ТГ (р-р°)</р, спят
о о (р2 + z ) / ^ (128)
где Q' = (g\p2 +g2 lz l)(p2 -2z2) + 25/20'[c,(p2 +z2)2 +c2 Izl (p2
+z2)],
16 1 < 1, причем, очевидно,
\Q'\ < A IzI(p2 +z2) + B(p2 +z2)2. (129)
Вычитая равенства (127) и (128) одно из другого, получаем
S2(z, 0) - S2(- z, 0) = / с/со / -O' ~P°)dp +
о о O' +z г'
+ [П(г, Л)-П(-г.Л)],
где положено (?, = Q - Q' = fte, - g\)p2 + (g2 - ?2>lzl](P2
- 2z2) +
+ 25/20,[c,(p2 +z2)2 +c21zI(p2 +z2)], б, = 0 ~ 0', 10, I <
2. Отсюда за-
ключаем на основании (126) и (129), что
