Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
места. 288
Из равенств (10), последовательно определяющих функции р* (А: =1,2, 3, ..
.)> следует, что для рассматриваемых нами поверхностей в силу (1) все Рк
будут положительными, если р0 > 0.
Следовательно, при условии (34),
Р*,>0 (35)
при всяком к и для всякой точки s поверхности (5). При этом, как
показывают равенства (19), будем иметь И*, < 0 при всяком к и для всякой
точки s.
Так как в силу (22) значения функций V% (к = 2,3,...) на поверхности (5)
связаны соотношениями
1 _" cos Iр
У°КТ -fV°k-i ds (* = 2,3, ...),
2 я г1
то их численные значения, которые обозначим через и(r), подчинены условиям
1 cos
"*- т /"*-• -Г ds <36>
2я г2
для всех точек поверхности (S)*).
. С другой стороны, в силу (19) и (36) можем писать
\У°к\ = 4=^-fp°k.l -. (37)
2 я г
Что же касается величин р(r) (к = 1, 2,...), то они связаны между собой
соотношениями
1 " cos Л
р\- ~ fP°-i -^ ds. (38)
2я г1
11. Положим
А/°= max u(r) = max I V\ I, /я(r) = min u(r) = min I V\ I.
Применив к равенству (36) метод К. Неймана, заключаем, что
М°к<М0к.1<М°к.2< ... (39)
/я(r) ^ /я(r) _ | ^/я(r) _j ^ ^ /я(r) = /, (391)
где
_ 1 ds
L = Щ = max - / - ,
2я г
1 . ds
I = /я, = min - / -
2я г
на поверхности (5).
Ли/ суть определенные числа, зависящие от вида поверхности (5), причем не
только Л, но и / отлично от нуля.
*) Напомним, что для рассматриваемых нами поверхностей всегда cos ^ > 0.
289
Из равенства (38) при помощи (3), (35), (37) и (39) выводим еще
следующее:
1 М°к L
Р*<--------- fPk-i- <--------------- <-• (40)
2irD0 г Du D0
12. Применим теперь метод арифметических средних К. Неймана к равенству
(10), которое отличается от (22) (или от равенства общего типа (22|))
только тем, что в нем угол i заменен углом ф, причем исходную функцию ро
будем предполагать какой угодно.
Напишем равенство (10) в виде
1 Рк -1 " '•'os ф
Рк= - f -Г~ Pk-i -j- ds И1)
2jt р2_, rJ
и обозначим через 7Vfc _, и пк _ i максимум и минимум отношения
P*-i/p*-iHa поверхности (5), каковые несомненно существуют, так как Рк-\
и р* _, непрерывны, а последнее всегда положительно и в нуль на
поверхности (5) не обращается.
Разделим эту поверхность на две части (а) и (0) так, чтобы в первой из
них было
Nk-l + пк-1 ^ Рк-1 ^ ,, /л^х
--------------------- < -- < 7V* _,, (42)
2 Рк-1 а во второй
Рк-1 ^ ^*-1 + "*-1 1Л-, ч
w*_, < -- < . (42,)
Рк-1 2
Придерживаясь принятых обозначений (см. п. 7), можем писать (равенство
(41))
1 cos ф
Pks<Nk~ 1 - / Рк-1 -- ds +
2п (<*). г2
7V*_, + и*_, 1 cos ф
+ .------^; ро ( - ds (43)
2 2я (0) тг
1 cos ф
Обозначим теперь интеграл - S Pk-i " 2 ' t*s' отнесенный к ка*
кой-либо точке s поверхности (5), через Jks, а интегралы того же вида,
распространенные на части (а) и (fi) и отнесенные к той же точке s, -
соответственно через j№) и j№) . Имеем
Jks=J№ + Hl
При помощи этого равенства и неравенств (42) и (42,) из (43) выводим тем
же способом, что и в п. 7, для двух каких угодно точек s и s, поверхности
(5):
Pks ^ ^*-1 - пк-1 №
а отсюда
Pks Pks, Г 1 (
- < M-i - n*_.) 1 - - -- + -!L ) •
'**. L 2 \ Jks Jks. 'J
о о " - I I ¦ . i , , ;i • (45)
P** P**, L 2
13. Возьмем какую-либо точку p0 на поверхности (5). и опишем около нее,
как центра, сферу радиуса R<D, как это сделано в п. 1. Часть поверхности,
лежащую вне площадки (о), вырезанной зтой сферой, обозначим через (S0).
Очевидно (равенство (38)),
1 " cos ф
Р°к> - S р°к-.-----г1 ds.
2п (s0) г2
Отсюда при помощи (2) выводим
о ^ т° Г Рк-1 , то [ P*-i P*-i 1 /
Рк>-- S Л= -- / - ds- f ds . (46)
2itDx (s") г 2itDi L r (a) r J
Учитывая (40), получаем
p*_| L ds L in r pdpdw
J ds < - / ------------------ < - / / --------------------------
--- <
(а) Г D0 (а) Г Do о О Г COSO
2L 2 it я 4itRL
<- / J dpdco =-- , (47)
Z?o о о Z?o
так как, напомним, r> p, cos i? > 1/2 для всех точек площадки (о).
Далее, в силу (37),
^ г - I I о - О
- / -¦-------- ds = vk> тк,
2я г
т.е., на основании (391),
р?_.
/ -=- ds > 2тп% > 2я/. (47,)
г
Неравенства (46), (47) и (47,) приводит к следующему:
2RL
Рк >- [/- :------------- 1 .
D, L D0 J
которое имеет место при всяком R<D.
Всегда можно положить R </D0/(4L), причем будем иметь р°к > > hi0//(2D|
). Отсюда, заметив, что
Pks = /*,. (47')
выводим
ш0/
Jks > "ТГ = G- (48)
11) |
где Q есть определенное число, отличное от нуля.
291
14. Возьмем опять две какие-либо точки s hi, на поверхности (S) и
опишем около них сферы достаточно малого радиуса R<D, подобно тому, как в
п. 8.
Пользуясь обозначениями этого пункта, можем писать >J*kSl • Заметив, что
1 cos ф
Jks = _ S Jk-1 7~~ ds,
lit г
получаем при помощи (48), (29) и (2), так же как и в п. 8,
1 cos ф
- S, Jk-i -
2я (в ) г
У&. = - /,. Jk-i ~Т ds>
Qm0 Qm0
2nD\ (в ) 2 nDi
JWs> ~ [03)-(a)].
Точно так же доказывается и неравенство Qm0 2itD\
С другой стороны, на основании (47') и (40) для любой точки s Jks<L/D0.
(48,)
Следовательно,
j$ J^l m0QDo
~Г ~Г~ > 77лГ ^(а) + W)-(ог)-(ffi)1 =
Jks J ks\ 2 irLD]
