Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
295
функций pk (k = 1,2, 3,.. .) no формулам
Pk - T- S Pk- 1
Вычислив функции pk, составим ряд
Po +(Pi -Po) + (Pj -Pi)+ • • • + (P* -Pfc-i) + •••
Эгог ряд представит непрерывную и положительную функцию р координат точек
поверхности (S), удовлетворяющую уравнению Робена (56) и условию (57),
т.е. плотность электрического слоя, находящегося в равновесии на
поверхности (5) (не оказывающего действия на точки, лежащие внут-
Таким образом, предложенное нами видоизменение метода Робена вполне
разрешает основную задачу электростатики (задачу о распределении
электричества) для всякой, конвексной. поверхности Ляпунова, характерные
свойства которой указаны в п. 1 *). *
Можно показать, что предыдущий метод применим и к тому случаю, когда
поверхность (5) имеет плоские части конечных размеров, причем условия п.
1 непосредственно не выполняются, но мы на этом останавливаться не будем,
так как впоследствии покажем, что метод Робена распространяется на какие
угодно (неконвексные) поверхности Ляпунова.
18. Вникая в изложенный выше анализ, легко видеть, что для полного
решения основной задачи электростатики достаточно установить
справедливость неравенства
где N н т суть определенные числа, из которых второе (г) меньше единицы и
не зависит от выбора исходной функции р0. Для любой поверхности (5), для
которой будет установлено это неравенство, носящее название принципа
Робена, задача о распределении электричества будет разрешена.
Мы уже показали (п. 16), что при соблюдении условия (60) рк стремится к
определенному пределу р при беспредельном возрастании к, причем этот
предел может быть нулем или величиной, не равной тождественно нулю, в
зависимости от выбора исходной функции р0. Мы сказали также,
*) Условие неотрицательности функции р0 в теореме V не является
существенным: при доказательстве сходимости последовательности рк (п. 17)
оно не использовалось, а положительность предельной функции р немедленно
вытекает нз сформулированного утверждения и теоремы единственности
(теорема II п. 5).
Отметим также, что доказанными утверждениями (теоремы II- V) полностью
исследована разрешимость интегрального уравнения (56) в классе
неотрицательных функций. Доказано (теорема V), что для любого М > 0
существует положительное решение уравнения (56), удовлетворяющее условию
(57); при М = 0 существование решения очевидно, р = 0. В п. 5 установлена
единственность неотрицательного решения задачи (56), (57).
Более того, приведенные рассуждения доказывают теорему I (а в частности,
и существование решения) при произвольных (в том числе и отрицательных)
значениях постоянной М и, как уже отмечалось, при произвольной
непрерывной исходной функции р,. Без условия неотрицательности
установлена в п. 5 и единственность решения задачи (56), (57): при
доказательстве единственности нулевого решения (в случае М= 0) достаточно
воспользоваться существованием решения р, задачи (56), (57) с МФО,
например, с М = 1. (Прим. ред.)
ри (5)).
I Рк -Рк-11 < Wt*,
(60)
296
что прямым следствием принципа Робена (неравенство (60)) является
неравенство (58), которое и приводит к окончательному решению основной
задачи электростатики*).
Покажем теперь, что для любой поверхности, к которой приложим принцип
Робена, вполне разрешается и основная задача гидродинамики {задача К.
Неймана).
Легко убедиться, что из принципа Робена сейчас же вытекает следующее
предложение:
Если начальная функция р0 в равенства* '53) подчинена условию / p0ds = 0,
го
\pk\<Nrk. (62)
В этом случае р = lim р* представляет функцию, удовлетворяющую *-> "
условиям
1 cos ф
Р = - /Р -r~ ds, Spds = 0.
2тг г
Такая функция, как показано в п. 5, необходимо равна тождественно нулю.
При этом неравенство (61) (см. примечание к этому пункту), являющееся
непосредственным следствием принципа Робена, обращается в неравенство
(62), которое поэтому также является прямым следствием принципа Робена.
19. Изменим теперь несколько обозначения, переменив букву р0 в
уравнениях (53) на /, и составим ряд
р= / + ер,+e2pj + ... +е*р* + ..., (63)
где, следовательно,
1 cos ф 1 cos ф
Pi = - //-- ds, pk=-fPk-1 -- ds (* = 2,3,...).
2 it r2 2 it r2
(63,)
Если функция f удовлетворяет условию
ffds= 0 (64)
то на основании предыдущего имеет место неравенство (62). Отсюда следует,
что ряд (63) при условии (64) сходится абсолютно и равномерно на
поверхности (5) при всех значениях параметра е,удовлетворяющих условию
le| < 1.
Так как к поверхности (5) по предположению применим принцип Робена, то
прй е = - 1 ряд
(/+epi) + (e2pj+е3р3)+ ...+(е2*р2* + e2*+,P2*+i) + •••
• • • =(/- Р,) + 0>2 -Рз)+ • • • + 0>2* - P2*+l)+ • • • (65)
*) В самом деле, можем писатьр * р* + (р*+, - Рк)+ (р*+2 ~ P*+i).....
откуда в силу (60),
fj.k+i
!р - Рк I < Wt*+i (1 + т + т* +' . . .) = - - = /V,т*. (61)
1 - т
т.е. при к> кЛ, где к" есть достаточно большое число, (р - рк | < е.
297
сходится абсолютно и равномерно и в том случае, когда условие (64) не
