Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
приложим принцип Робена, методом Неймана.
Приложение к конвексным поверхностям Ляпунова.
Преобразование потенциала простого слоя в потенциал двойного и обратно.
Задача Гаусса - Дирихле.
Условия существования нормальных производных от гармонических функций,
представляющих решение задачи Дирихле.
1. В предыдущей главе мы доказали, что принцип Робена применим ко всем
конвексным поверхностям Ляпунова, но не подлежит сомнению, что этот
принцип справедлив и для поверхностей более общего типа. Поэтому в
настоящей главе мы рассмотрим сначала, вообще, все такие поверхности
Ляпунова, для которых так или иначе может быть доказан принцип Робена и в
которых конвексные поверхности заключаются как частный случай. Все общие
результаты, которые получатся как следствие применения этого принципа,
будут справедливы для любой поверхности, коль скоро мы убедимся, что
принцип Робена к ней прилагается. Впоследствии мы докажем применимость
этого принципа для всех поверхностей Ляпунова и таким об-
*) Что на самом деле и сделано нами в предыдущих пунктах.
301
разом распространим, в силу сказанного, все полученные в этой и
предыдущей главах результаты на все поверхности Ляпунова ( п. 17, гл. I).
2. Пусть f есть какая угодно интегрируемая функция координат точек
поверхности (S). Составим, следуя К. Нейману, ряд потенциалов двойного
слоя по формулам*)
1 COS<?
И'о = - / / - ds>
2 гг г2
1 - cos
Wi = - / И'о -Г О)
1 - cos
Wk= - fWk.l - ds.
2ir г2
На основании теоремы Корна - Ляпунова**) и пятой теоремы последнего (гл.
I) потенциал в любой точке р0 поверхности (5) удовлетворяет условию
1 ~ ~ о**".
2гг
7 (И', - K)db> о
где И7? представляет значение Wt в точке р0 • Отсюда, руководствуясь
четвертой теоремой Ляпунова, заключаем, что Wi имеет правильные
нормальные производные на поверхности (S), причем
dWu bWle _
- Lо-
Эл Ъп
Составим затем ряд потенциалов простого слоя по формулам
1 Го
^ = Vi - - - / - ds.
2rr г
1 ds
Vk~- - f Pk-1 .
2rr r
где, вообще,
Э Vk
Pk =
Ъп
и, как показано в предыдущей главе,
1 cos ф
Рк= ~ f Рк-1 j ds.
2 гг г2
(2)
(3) (3.)
(4)
(5)
Составим, наконец, ряд потенциалов двойного слоя, последовательно
*) Мы употребляем обозначения, принятые в пп. 6 и следующих за ним гл. 1.
**) Функция / интегрируема по Риману и, следовательно, ограничена на (5).
СПрим. ред.)
302
определяемых равенствами
1 _ cos 1 cos tp
v3 = - / v2 ~r~ <is vk = - / vk _, -- ds. (6)
2тг r2 2n r2
Для дальнейшего важно установить некоторые соотношения между функциями
Wk, Vk и и*, что мы и сделаем в последующих пунктах.
3. Применим к функции W2 формулу Грина (36) гл. 1 (п. 9). Получим
1 cos 1 /.0
2W2 = - / W2j -- ds+ - / - ds внутри (5). (7)
2n г2 2n г
Заметив, что по свойствам потенциала двойного слоя (равенство (111) гл.
1, теорема V111) W2i = W2 + Wx, подставив это выражение W2i в формулу (7)
и приняв во внимание равенства (1) и (3), получаем
v2 = V2 = W3 - W2 внутри (5). (8)
Докажем, что равенство
У к = ^*+, - Wk внутри (S), (8,)
только что установленное для к = 2, справедливо при всяком к, большем
двух.
Покажем прежде всего, что функции vk и Wk связаны соотношением
у* = ^*+1 ~ ^*-1 (9)
при всяком к = 3,4,... Равенство (8) дает v2 , = v2 = W3j - W2ибо v2 как
потенциал простого слоя остается непрерывным во всем пространстве.
Применив опять равенство_(110 гл. 1 к потенциалам_двойногослоя W3 и W2,
получим W3i - W2i = W3 + W2 - {W2 + Wx) = W3 - Wx и, следовательно, v2 =
W3 - Wx. Подставив это выражение в первое из равенств (6) и приняв во
внимание равенства (1), получаем
и3 = IP4 - W2. (10)
Докажем, что равенство (9), только что установленное для случая к = 3,
справедливо при всяком к.
Допустим, что_оно справедливо при каком-нибудь определенном к. Имеем vk =
lP*+i - Wk_x. Подставив это выражение (7* в равенство (6) после замены в
нем к на к +1 и приняв во внимание (1), получаем
и*+ 1 = ^* + 2 -
Следовательно, равенство (9), справедливое при каком-нибудь к,
справедливо и при к, на единицу большем. Так как оно доказано при к = 3,
то оно справедливо при всяком к, равном или большем 3.
4. При решении задачи о распределении электричества в предыдущей главе
доказано, что функции Vk, определяемые равенствами (3) и (3,), связаны
между собой соотношениями
- 1 - COS
Ук= - fyk-i -- ds (* = 3,4, ...) (11)
2тг т1
(гл. 11, п. 6, равенство (22)). Для функций же vk, определяемых
303
формулами (6), имеем
_ > _ cos Iр
vk = -- /и*_ | -- ds. (12)
2ir r2
При к = 3 получаем, приняв во внимание равенство (3),
У} = v} на поверхности (5).
Предположим, что равенство
Ук =и* на поверхности (S), (13)
только что установленное для к = 3, справедливо при каком-нибудь к.
Заменяя в (11) и (12) к на к + 1 и учитывая (13), убеждаемся, что
К* +1 = и* +1 на поверхности (5).
Отсюда заключаем, что равенство (13) справедливо при всяком к.
5. Обращаясь теперь к формулам (6)f можем писать, на основании известных
свойств потенциала двойного слоя, и* ,• = и* + и* _,, откуда, прйняв во
