Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Здесь W" = f. {Прим. ред.) 310
Таким образом, получаем другое изображение функции W в виде ряда 13),
равномерно сходящегося_во всех точках области (D ).
Равенство (32') дает We = W + р 12. Из(321)получаем,припомощи(27),
+ (Й>2 + Й>, -2С) + (К'з + Й'2 - 2С) + ...
... + (**+ **-. -2С)+...).
Эти два последних равенства и (32) приводят к следующему:
We=f-C. (34)
Пусть ресть какая-либо определенная (отличная от тождественного нуля)
функция, удовлетворяющая уравнению Робена. Положим
Р
V = /-ds .
г
Мы знаем, что У представляет гармоническую функцию вне поверхности (5),
удовлетворяющую условию
Уе = Со, (35)
где С0 Ф 0 есть определенная постоянная, равная значению функции V для
точек, лежащих внутри (5).
Положим U = W + аУ, где а есть некоторая постоянная. Составленная таким
образом функция U есть гармоническая вне (5) и удовлетворяет условию
(равенства (34) и (35))
Ue = We + aVe =/+ аС0 - С.
С
Положив а = С/С0, получим функцию U = W + - V, гармоническую
С0
вне (5) и удовлетворяющую условию Ue =/ на поверхности (5) ,
т.е. решение внешней задачи Дирихле методом К.Неймана.
Получаем следующую теорему.
Теорема III. Пусть / есть заданная непрерывная функция координат точек
поверхности (5). Обозначим через Р ф 0 определенную функцию,
представляющую плотность мектрического слоя, находящегося в равновесии на
поверхности (5), и положим
Р
V = f-ds,
т
С = f pfds/fpds , (35.)
а через С0 обозначим постоянное значение потенциала V внутри (5).
Составляем ряд потенциалов Неймана по формулам (27) (теорема 11 ) и при
помощи них функцию
С 1
Функция, изображаемая этим сходящимся равномерно вне поверхности (S)
рядом, есть гармоническая вне (S) и удовлетворяет условию
We = f на поверхности (S) ,
т.е. представляет решение внешней задачи Дирихле для всякой поверхности
Ляпунова, к которой применим принцип Робена.
Функция Wможет быть представлена в виде
Ср 1 , cos (Л .
W --$ - ds fp -r-ds, (36,)
Со г 4п г2 где _ _ _
М' = /+(И/, +f-2C) + (W% + Wt -2C)+... + (Wk + Wk_l - 2С)+ ...
(362)
В частности, полученная таким путем функция W дает решение внешней задачи
Дирихле для всякой конвексной поверхности Ляпунова.
11. В предыдущей главе мы доказали, что основная задача гидродинамики
(внутренняя и внешняя задачи К. Неймана) решается методом Робена для
всякой поверхности Ляпунова, к которой применим принцип Рббена.
Гармоническая функция V внутри или вне данной поверхности (S),
удовлетворяющая соответственно условиям
Э V,
- =/, / fds = 0 на поверхности (S), (36 )
Эл
или
Ъуе
- =/ на поверхности (5) , (36 )
Эл
представляется при этом в виде потенциала простого слоя с плотностью М
1 / Р ,
-, или (р + -), где р соответственно внутренней или внешней за-
2л 2л 2
даче определяется рядами (76,) и (77,) предыдущей главы.
При помощи только что изложенного метода, дающего решение внутренней и
внешней задач Дирихле, можно получить решение задачи Неймана в иной
форме, а именно в форме потенциала двойного слоя.
Если при помощи этого метода мы найдем функцию U, гармоническую внутри
или вне поверхности (5) и принимающую на самой поверхности те же
значения, что и потенциал простого слоя V, удовлетворяющий условиям (36')
или (36"), то полученная функция U и представит, очевидно, решение задачи
Неймана в виде потенциала двойного слоя. При этом мы получим частный
случай более общей задачи о преобразовании данного потенциала простого
слоя (внутри или вне поверхности (5)) в потенциал двойного слоя, решение
которой также легко достигается при помощи теорем II и III.
12. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу, когда ищется функция V,
удовлетворяющая уравнениям
ДУ = 0 внутри (5), (37)
Э Vf
-- = / на поверхности (5), (37,)
дп
312
fee / есть заданная непрерывная функция координат точек поверхности (5),
подчиненная условию
/ fds = 0 . (38)
Составляем функции Vk при помощи равенств (гл. II, п. 6,
равенство
(19))
1 /
К,= S~ds,
П Г (39)
Kfc=_-i
2я Ъп г
Так как ряд (76i) теоремы VI предыдущей главы-сходится равномерно, то
функцию V, заданную равенством (77) той же теоремы, можно представить при
помощи только что написанных равенств в виде ряда
V--V\ - К2 -... - Kk -..., (40)
сходящегося абсолютно и равномерно (см. неравенство (14t) п, 6).
Рассмотрим потенциалы Неймана, соответствующие случаю, когда f = - V.
Имеем, в силу (40),
1 _ COSX 1 - COS
~ fV -- ds = --S Vl ,2 я г2 2 я г2
1 - COS X 1 - COS X
- Т~ f Vj -j- ds - - -- / Vk -¦ ds-,
2 я r2 2 я r2
или, на основании установленных в предыдущей главе соотношений (22)
(п. 6),
Й>, = -Й2-Й3-...-Йк+1 -...
Точно так же убеждаемся, что, вообще,
Щ = -Йк+1-йк+2-...
Из этих равенств и (40) выводим
H'fc = 1Йк - iPk_, = Vk (*=1,2,:..). (41)
Заменив теперь в равенстве (29) теоремы II функцию / на К, получаем, при
помощи (40) и (41) ,
I
4яд' = - Й3 - Й2 - ... - Рк - ... - Vi+ Й2-...(-1)* Йк+ ...
- = - 2(Йд + Й3 + ... + Й2к_ , + ...).
Поэтому потенциал двойного слоя W, дающий по теореме II решение задачи
