Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
_ 1 - cos Ф
Vk -^-ds
2 тг г
5 на pds и интегрируем результат по всей поверхности (S). Изменив порядок
интегрирования и заметив, что при зтом угол переходит в угол ф,
получаем
- 1 ( - cos \
fpVkds = - fplfVk_t - ds\ds =
1 - / р cos ф \ -
= ^ dsjds = fpVk_lds. (50.)
Следовательно, в силу (50), С = 0 и равенство (49') приводится к виду
= f(V°i +V% +... + Р2°*_, + ...)^<fc.
2тг г
Приняв во внимание равенство (47), получаем функцию W:
1 р 1 _ _ _ cos Ф
w= - - f- ds - - /(К, + V° + ... *V°2k_i + ...) ds.
4п г 2п г
Функция W, гармоническая вне поверхности (S), удовлетворяет условию К =
Ve, т.е.
W = V в области (D') .
3 К
Следовательно, W имеет внешнюю нормальную производную , причем
дк bv* т Ьп
= ------- =/ на поверхности (S),
Эл Эл У
т.е. дает решение внешней задачи Неймана. Получаем следующую теорему.
Теорема V. Пусть f есть какая угодно непрерывная функция точек
поверхности (S)I Составляем ряд потенциалов простого слоя по формулам
(43) предыдущей теоремы с заменой в них f на f - р и положим
1 р 1 . cos Ф
W=- - f-ds-~- Sp"-JLds, (51)
4тг г 2тг г2
где р есть плотность электрического слоя, находящегося в равновесии
317
на поверхности (5), удовлетворяющая условию
fpds = ffds, а _ _ _
р"= V, + У3 + ...+ V2k- i + ...
Функция W, определяемая равенством (51),есть гармоническая вне
поверхности (S) и удовлетворяет условию
bWe
=/ на поверхности (S),
дп
т.е. дает решение внешней задачи Неймана для всякой поверхности Ляпунова,
к которой приложим принцип Робена.
В частости, W представляет решение внешней задачи Неймана для любой
конвексной поверхност.
14. Укажем еще один прием решения основной задачи гидродинамики,
который получается независимо от задачи Дирихле и предложен К. Нейманом.
Положим
vx = ^-S~ds, |е|<1, (51,)
4гг г
и составим ряд потенциалов двойного слоя по формулам
1 cos ф ^
w* = - 1 j ds (k = 2,3,...). (52)
2rr r
Рассмотрим ряд
д'"=и, + ev2 + e2v3 + ... + е* ~ 1 о* + ... (53)
Составим ряд потенциалов простого слоя Vk (k = 1,2,... ) по формулам
е
(19) предьщущей главы, положив в них р0 = -- /. Из самого определения
функций Vk получаются следующие равенства для точек поверхности (S):
_ I _ cos р
Vk = - f Vk-i -r~ ds (к = 2,3,...).
2 rr г2
Vk = - SVk-t -ds (k = 2,3,...),
Сравнивая эти равенства с соотношениями
I - COS ifi
- I Vk-i -
2n r*
установленными в предьщущей главе (равенства (22)), получаем
Vk = Vk = Vk,= Vke (Л =1,2,3,...). (54)
Предположим сначала, что / удовлетворяет условию ;/Л = 0. (55)
Так как к поверхности (5) по предположению применим принцип Робена, 318
(ср. п. 6, неравенство (14())
I Vk I <N1 т* . (55.)
,, при помощи этого неравенства и равенства (54) заключаем, что ряд :(53)
сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), пока I б|
< 1, если только функция f удовлетворяет условию (55).
; 15. Предположим теперь, что условие (55) не выполняется, ае = - 1.
чВ этом случае
p"' = (Pi-Ъ2) + (Рз-йл)+ ... + (w2*_, -F2*) + ..., (56)
или, в силу (54),
д'"=("Л-Й2) + (^э-Й4) + ... + (Й2*-1 -V2k)+...
Но по самому определению функций Vk (равенства (19) предыдущей главы) ,
имеем
- 1 .Л
Vik - 1 _ Vik ~ - S(Ргк ~ Ргк- i) - •
2jt г
Так как к поверхности (5) приложим принцип Робена (неравенство (60) гл.
II), то | У 2 к - 1 - V 2 к I < NL т2к. Отсюда следует, что ряд (56)
сходится абсолютно и равномерно на поверхности (S). какова бы ни была
непрерывная функция f
16. После этого составляем потенциал двойного слоя
. 1 ... COS ifi
W'= -fpm ds. (57)
2jt r*
Предположим сначала, что функция /удовлетворяет условию (55). Так как при
этом ряд (53) сходится равномерно, то, интегрируя почленно и приняв во
внимание равенства (52), получаем
W' = и2 + е и3 + е2 и4 +... + е* - 1 ик +, +... (58)
Положим
W=eW, + vl. (58,)
Имеем при 6=1, наосновании известных свойств потенциалов простого
"двойногоcno*,We= W^- + vle = W'-p."' +17, .Но, в силу (58) и (53),
W' - ц'" = 0)2 -17,) + (оз -Fj) + ...+C7*-o*_i) + ... Следовательно,
We = о, + (oi -F,) + ("7з -Fi) + • • • + (о* -F*_,) + ... = 0,
ибо к поверхности (5) приложим принцип Неймана *). Отсюда следует, что W
= 0 вне поверхности (5), (59)
т.е.
W' = -о, вне (5). (60)
*) Или, если угодно, в силу равенств (54) и (55,).
31"
Так как и, есть потенциал простого слоя, то он имеет правильную нор-
Эи1с
мальную производную на поверхности (5).Из равенства (60) заключа-
Ъп
ем, что в данном случае и потенциал двойного слоя W' имеет такую же нор-
bW'e
мальную производную ----------, Следовательно, на основании третьей
теоре-
Ъп
мы Ляпунова (гл. 1) существует и внутренняя нормальная производная от W',
причем
??.*!*. (во,)
Эл Эя
При помощи этого равенства из (58,) выводим
bWf ЭИе._ Ъии dvle _
дп Ъп Ъп Ъп ^
dWe
а так как, в силу (59), -----=0, то
Ъп
ЭИ/,
= / на поверхности (5).
Ъп
Следовательно, функция Неопределяемая равенствами (58,), (57), (53) и
(51), дает при е = 1 решение внутренней задачи Неймана. Получаем
следующую теорему.
