Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Составим потенциал двойного слоя
1 , COS ф
- /Д -з 2я г
w= - /д' -Г ds- <25>
Имеем
Wj = W + fi' на поверхности (S).
Но для точек поверхности (S), в силу (15,) и (22),
1 . COS ifi 1 _ cos <р
г -Г ds=T~ - ds~
4я г 4я г1
1 - cos w 1 - - WL+,
- - / И'*-, ds = - (Wk+l - Wk) = .
4я г2 2 2
Следовательно,
W=-j (W1+eW2+e2W'3+ ... +е*-1 W'k+ ...) (25,)
и, на основании (24),
Wi=f+ (W\+eW2+e2W'3+ ... +ek~l W'k+ ...). (26)
Положив е = - 1, получим Wj =/ на поверхности (S).
Следовательно, функция (25) при е = - 1 решает внутреннюю задачу Дирихле,
ибо представляет собой гармоническую функцию внутри (S) как потенциал
двойного слоя и обращается в заданную (непрерывную) функцию f на самой
поверхности.
Функция р представляется в виде ряда
д' = 4 [/-0*1 -Л + 0*2 -ТР,)- ... +(-l)fcO*fc -'Й\_,)+ ...].
307
Так как, в силу принципа Неймана (21), ряд правой части последнего
равенства сходится равномерно на поверхности (S), то можем его
интегрировать почленно, причем, учитывая опять формулы (22), получим
решение внутренней задачи Дирихле в виде ряда
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема II. Пусть f есть заданная непрерывная функция координат точек
поверхности (S). Составляем ряд потенциалов двойного слоя по формулам
Полученная таким путем функция W есть гармоническая функция внутри (S) и
обращается на поверхности (S) $ заданною функцию f, коль скоро к
поверхности (S) применим принцип Робена'или, что все равно, принцип
Неймана. Функция W представляет собой потенциал двойного слоя с
напряжением
В частности, функция W, изображаемая рядом (28), разрешает внутреннюю
задачу Дирихле для всякой конвексной поверхности Ляпунова. _
8. Возвращаемся к равенству (25), из которого выводим. We = W - р ,
откуда, в силу (23), (24) и (25j),
Полагая 6=1, получаем We = 0, т.е. при е = 1 потенциал W представляет
гармоническую вне поверхности (S) функцию, обращающуюся в нуль на самой
поверхности. В зтом случае W представляет потенциал двойного слоя,
допускающий внешнюю нормальную производную, которая равна
to = \ (Wi -(W2 _*,) + (*, _*,)_¦ ...+ ¦(-I)*"1 Wk-HV-i>+ •••)•
(27)
и положим
to- j (Wx -(W2 -Wlj + (W3 -w2)- ... ... +(-l)*-1 (Wk - B'*_i)+ ...).
(28)
H'= ? if-{*, -f) + (to2 -B',)- ... +
+ (-0* W*-^*-.)+ •••).
(29)
308
нулю, ибо и сама функция W равна нулю вне поверхности (S). По третьей
dWi п
теореме Ляпунова заключаем, что и = 0, т.е., в сипу
известных свойств
Ъп
Гармонических функций (гл. 1),
W = const = С внутри (S).
Положим теперь в (26) е = 1. Получим Wi=f+W\+W'2+ ... +W'k+ ... =С.
- равенство, которое перепищем так:
/+ И',' +w'2+ ... + W'k -C=-(W'k+l + W'k+2 + ...).
Отсюда при помощи (24) и (151) выводим Wk-C=-(WL+l + W'k+2 + ...)
и затем, при помощи (21),
до ~к+1
I Wk - С\ < - = Хт* (30)
1 - т
- неравенство, являющееся прямым следствием принципа Неймана (или, что
все равно, принципа Робена).
9. Так как к поверхности (S) по предположению применим принцип Робена,
то мы можем считать известной плотность р электрического слоя,
находящегося в равновесии на данной поверхности*).
Применим равенство (27) к точкам поверхности (S). Имеем
- 1 - COS (О
И'*= -- --- ds.
2jt г*
Умножим это равенство на pds и интегрируем результат по всей поверхности
(S). Получим, меняя в правой части порядок интегрирования и замечая, что
при этом угол i обращается в ф,
- 1 / - COS ifi \
fpWkds= - --j- dsj ds =
1 - / cos ф \______
= - fWk_i[fp--ds)ds = f pWk_id
Это равенство, справедливое при всяком А:, дает fpWkds = fpfds.
*) Напомним, что р удовлетворяет уравнению Робена
1 COS *1> .
Р=Тп /р - *
Конечно, берется ненулевое решение этого уравнения, т.е. / pds * 0.
(30)
309
Подразумевая под С постоянную неравенства (30), перепишем полученное
равенство следующим образом:
С fpds - fpfds = fp(C - Wk) ds.
Отсюда при помощи (30) выводим
\Cfpds - fpfds \<\тк f \p\ds
- неравенство, справедливое при любом к. Следовательно,
С = fpfds I fpds. (31)
Таким образом, определяется постоянная С неравенства (30), т.е. тот
постоянный предел, к которому стремятся значения Wk при беспредельном
возрастании к.
10. Зная величину постоянной С, мы можем теперь разрешить методом
Неймана и внешнюю задачу Дирихле для любой поверхности Ляпунова, к
которой приложим принцип Неймана (или Робена).
Составим функцию
д'=/+(Й>, +f-2C) + (W2 + Wl -2C) + ... + (Wk + Wk_l -2С)+...
(32)
Неравенство (30) дает
| Й>* + Й>*_ 1 - 2С|< 1 Й>* -С1 + 1 Й>*_ ,
Ml + Т) ,* _ ч" *
т* = X т* .
т
Следовательно, ряд (32) сходится абсолютно и .равномерно на поверхности
(5).
Составим функцию
1 р cos<р ,
W=~ 7" S .Г *• <32 >
4п г
причем вследствие равномерной сходимости ряда (32) можем писать,
интегрируя почленно,
1 1 COS (Л - 1 _
и'=--(- ff-r- *+ 2 т- f(Wk +
2 2п г * = 1 2п
COStf
+ И'*_,-2С) ds)*). (32,)
г
Применим это равенство к точкам, лежащим вне поверхности (5) (в области
(?')). Приняв во внимание теорему Гаусса и равенства (27), получаем
W= - ^ (IP, + (W2 + Wt) + (Щ + W2) + ... + (Wk + Wk_,) + ...). (33)
