Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
задачи Дирихле в виде потенциала простого слоя.
Поставленную таким образом задачу Дирихле мы будем называть задачей
Гаусса.
Решение, которое мы изложим, требует, однако, чтобы функция /, в которую
должен обращаться искомый потенциал простого слоя, удовлетворяла условию
(141) гл. I, которое мы будем предполагать выполненным.
Мы называем рассматриваемую задачу задачей Гаусса, так как она
непосредственно вытекает из извес'.лых его исследований, опубликованных в
1839 г. в мемуаре ''Allgemeine Lehrsatze in Beziehung arf die im
verkehrten Verhaltnisse des Quadrats des Entfemung wirkenden Krafte".
Метод Гаусса, сводящий вопрос к разысканию условий минимума некоторого
интеграла, недостаточен во многих отношениях и получил некоторое
обоснование только в последнее время. Мы укажем сейчас строгое решение
задачи Гаусса для всех поверхностей Ляпунова, к которым применим принцип
Робена, а в дальнейшем докажем справедливость этого решения для каких
угодно поверхностей Ляпунова'.
326
Теорема II дает решение задачи Дирихле в виде ряда
W= i- W, - i [\W2- W2) + ...
2 2
Wk-,) + ... I, (74)
где, напомним, Wk суть функции, определяемые равенствами (27) п. 7.
Пользуясь обозначениями п. 20, составляем ряд функций
1 L0 1 ds
V,= - / - ds, Vk=- - fftk-, - (* = 2,3,...).. (75)
2jr r 2jt r
Повторив рассуждения п. 3, мы докажем равенство
-Vk = tok + X- Wk внутри (S),
которое в рассматриваемом случае будет, очевидно, справедливо для всех
значений к, начиная с к = 1.
Вследствие этого определенная равенством (74) гармоническая внутри (S)
функция W, обращающаяся в/наповерхности(S), представится в виде
1 1 " к 1 ^ = -^,+ -2 (-1) ,= - И', +
2 2*=2 2
+ | 2 (-1)*+1 Vk,
2 к= 1
С другой стороны, равенство (72) дает, в силу (75),
1 1 Р 1 -
Г ", = - / - Л + - 2 К*.
2 4тг г 2 * = 1
Складьшая эти равенства, получаем
W= -j-f -ds + 2 К2*_"
4тг г * = i
или, на основании (75),
1
- Г" / 2тг
Р
- - L0 +р2 +р4 + .. • +Р2* + • • • 2
ds
- *)• (76)
г
Потенциал простого слоя W (см. (76)) есть гармоническая функция как
внутри, так и вне поверхности (5) и удовлетворяет условию
Wi = We=f на поверхности (S).
Таким путем приходим к теореме.
Теорема VIII. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверхности
(5), подчиненная условию (141) главы I. Положим ~^Le= ?"
дп дп
*) Напомним, что ряд, стоящий под знако'1 интеграла, сходится равномерно
на поверхности (5), вследствие чего замена суммы интегралов интегралом от
суммы допустима. Плотность р определена в п. 20.
327
и составим ряд функций Vkno формулам
1 ds
Г- / Р* - , - (* = 2, 3,...),
2тг г
bVk
где, вообще, рк = -------
Ъп
Потенциал простого слоя
1 Р
W=~~S -^0+Р2+Р4 +••• +Р2*+ -
2w 2
2л
ds
г
(77)
удовлетворяет условиям
AW = 0 внутри и вне поверхности (S),
W, = We=f на поверхности (S),
т.е. представляет решение задачи Гаусса для всякой поверхности Ляпунова,
к которой приложим принцип Робена.
В частности, функция W решает задачу Гаусса для любой конвексной
поверхности.
23. Из только что доказанной теоремы выводим, как следствие, принимая
во внимание известные свойства потенциала простого слоя, следующее
предложение:
Если заданная непрерывная на поверхности (5) функция f такова, что
выполняется условие (141) главы 1 , или, если потенциал двойного слоя
имеет правильные нормальные производные (внутреннюю, а, следовательно, и
внешнюю) на поверхности (S), то гармоническая внутри или вне поверхности
(S) функция W, обращающаяся на этой поверхности в заданную функцию f,
имеет правильные внутреннюю и внешнюю нормальные производные
Таким образом, существование правильных нормальных производных от
потенциала двойного слоя Wx, определяемого равенством (78), есть условие,
достаточное для существования таких же нормальных производных от функции
W, представляющей решение задачи Дирихле.
24. Покажем, что это условие не только достаточно, но и необходимо* ).
* ) В доказательство этого утверждения, а также в доказательство
аналогичного утверждения п. 25 внесены изменения (Прим. ред.)
(78)
р -Lо + Pi + рг + Рз + - + Рк + -
Ъп
328
По теореме II решение внутренней задачи Дирихле можно представить
в виде (п. 7)
W=Wl-W2 + ~{w3-(WA-W3) + ... + (-l)k-1(Wk-.Wk_l) + ... } =
= Wl-W2+A. (79)
В п. 2 показано, что функция W2 удовлетворяет условию (141) гл. I и,
следовательно, функция W3 всегда имеет правильные нормальные производные,
какова бы ни была функция /, непрерывная на поверхности (5).
С другой стороны, на основании теоремы II функция A=±\w3-(Wa- W3) + ... +
(-1)*-* (И1* - Wk_t) + ... j (80)
является гармонической внутри (5) и обращается на поверхности (5) в
функцию W2. В силу утверждения п. 23 функция А имеет правильную
ЭЫ/ '
нормальную производную -г- • Следовательно, из существования правиль-
Ъп
Э Wj
ной нормальной производной функции W вытекает существование
Ъп
правильной нормальной производной функции
1 ^- COS 0
Wl-W2=- f{f- Wi) ^-ds. (81)
2 7Г ri
Опять используя утверждение п. 23, получаем, что решение W задачи Дирихле
