Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
- - Sn -гds= - / -ds + C,
2 ir г 4 яг
*) См. также
В.А. С т е к л о в Les mcthodes generates pour rescudre les problemcs
fondamcntaux de la physique mathe'matique. - Annalesde Toulouse, 2 ser.,
1900, т. 2, pp. 246 etc.
323
или, в силу теоремы Гаусса,
1 г( >"х С) с°8^ 1
- Г-ДМ + - 1 - Л= - / -Л внутри (5),
2 л \ 2 /г 4я г
где р'" есть функция, определяемая рядом (68) теоремы VII. Эго равенство
и решает задачу, когда требуется преобразовать данный потенциал простого
слоя в потенциал двойного внутри данной поверхности (S).
Далее, если функция/удовлетворяет условию (55), то равенство (60) дает
1 cos If
- -/ р -- ds = v i= -f - ds вне (S).
2л г 4л г
Если заданная функция /, пропорциональная плотности данного простого
слоя, не удовлетворяет условию (55), то следует положить
"1 = - / <*>
4 яг
где р есть плотность электрического слоя, находящегося в равновесии на
поверхности (S), подчиненная условию / р ds = / fds. В этом случае
плотность потенциала о, удовлетворяет равенству (55) и мы получаем,
подобно предыдущему,
cos ip 1 / - Р
ds= - / ds вне (S), (69)
4 яг
где р'" есть функция, определяемая рядом (63) теоремы VI.
В рассматриваемом случае, когда функция /не удовлетворяет условию (55),
данный потенциал простого слоя не может быть полностью преобразован в
потенциал двойного слоя, но, как показывает равенство (69), всегда можно
найти такой потенциал двойного слоя, который будет отличаться во всех
точках вне поверхности (S) от заданного потенциала простого слоя на
потенциал электрического слоя, находящегося в равновесии на данной
поверхности. Равенство (69) представляет решение задачи о преобразовании
данного потенциала простого слоя в потенциал двойного для точек, лежащих
вне плоскости (S).
20. Рассмотрим теперь задачу, обратную предыдущей и необходимую для
дальнейших изысканий. Дан потенциал двойного слоя, найти потенциал
простого слоя, принимающий внутри или вне данной поверхности (S) те же
значения, что и данный. Задача, вообще говоря, не всегда возможна.
Пусть, в самом деле,
1 cos (р
И', = - // - ds (70)
2я г1
есть заданный потенциал двойного слоя. Если существует потенциал прос-р
того слоя V = / - ds*), удовлетворяющий, например, условию V= W, внутри
Г(5),
*) С непрерывной плотностью л- (Прим. ред.)
324
ГО функция W, необходимо должна иметь внутреннюю нормальную производную,
ибо таковую имеет потенциал простого слоя К. Это требование будет
соблюдаться в том случае, когда заданная функция / в выражении (70)
удовлетворяет условию (141) четвертой теоремы Ляпунова (гл. I, п. 44).
То же самое условие должно быть соблюдено и для случая, когда требуется
преобразовать данный потенциал двойного слоя в потенциал простого для
точек, лежащих вне поверхности (S).
Пусть W1 (см. (70)) есть данный потенциал двойного слоя, где/- какая
угодно непрерывная на поверхности (S) функция, подчиненная условию (141)
гл. I.. Положим
bWlt Ъ Wle
L°'Trsir~ <7"
и определим методом Робена (гл. II , теорема VI) функцию К, гармоническую
внутри (S) и удовлетворяющую условию
ЭК,
-- = -10 на поверхности (S).
Ъп
По теореме VI гл. II получаем
1 ds
К = / (- L0 +р, +р2 + ... + Р* + ...) ,
2я г
где рк суть функции, определяемые равенствами (76) (гл. II), если в
первом из них заменить букву/на - L0. Положив U=Wt + К, получим гармо
ническую внутри (S) функцию, удовлетворяющую условию
ъи, .
¦- =0 на поверхности (5).
Ъп
Отсюда заключаем, что
Wt + V = const = С внутри (5).
Обозначим через р плотность электрического слоя, находящегося в
равновесии на поверхности (5), удовлетворяющую условию
1 Р
- / - ds = С.
2я г
При помощи этого соотношения предыдущее равенство приводится к виду
1 COS if 1
W, = - ff--~ds = - - f(-p-L0 +p, +p2 + ...
2я т 2n
ds
... + p* + ...) - внутри (S) (72)
r
и дает решение задачи, когда ищется потенциал простого слоя, принимающий
внутри (S) те же значения, что и данный потенциал двойного слоя.
325
21. Найдем теперь методом Робена потенциал простого слоя V вне
поверхности (5), удовлетворяющий условию
дУе
= L0 на поверхности (S).
Эл
Так как в данном случае f L0 ds = 0, то на основании соображений п. 20,
гл. II, получаем
1 . ds
V =--------/ (Lg - Pi +p2 - p3 + ... + (- 1)
Pk + • • •) - •
2я г
Положим U=Wi - V. Очевидно, dVe
= 0 на поверхности (5),
Эл
т.е. на основании известных свойств гармонических функций,
Wt = V вне (S), или
1 COS Ф I
И7! = - // -г ds = - f (L0 - Pi + Р2 + ...
2я г 2я
...+(-1 )*Р*+ ..•)- вне (5). (73)
г
Эю равенство дает решение задачи для случая, когда ищется потенциал
просюго слоя, принимающий вне (S) те же самые значения, чю и данный
потенциал двойного слоя.
22. В теоремах II и III мы указали решение внутренней и внешней задач
Дирихле в виде потенциала двойного слоя. Пользуясь результатами
предыдущих пунктов, нетрудно получить решение следующей задачи:
Найти внутри или вне поверхности (S) потенциал просюго слоя, принимающий
на самой поверхности наперед заданные значения, т.е. получить решение
