Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Дирихле, представится в виде
1 - - _ cos х
W= ~ - J(Hi + K, + ...+r*_,+.") ds. (42)
2я г
313
Полученная функция W удовлетворяет условию Wt-Vt, т.е.
W=V внутри(5).
Отсюда следует, что bW, bVt
- = - =/ на поверхности (S).
Э п Ъп
Следовательно, равенство (42) дает решение внутренней задачи Неймана в
виде потенциала двойного слоя. Получаем следующую теорему.
Теорема IV. Пусть f есть заданная непрерывная функция коодинат точек
поверхности (S),подчиненная условию
Sfds = 0. (38.)
Составляем ряд потенциалов простого слоя по формулам
1 / 1 ds
V^-r-f-ds, К* = (43)
2я г 2 я on г
и положим
1 " cosi
-Г" А. (44)
2я г
где
tx"=Vi + V3+...+ V2k-l+... (45)
Потенциал двойного слоя W, определяемый равенствами (44) и (45), дает
решение внутренней задачи К. Неймана для всякой поверхности Ляпунова, к
которой приложим принцип Робена, т.е. удовлетворяет уравнениям
&W = 0 внутри (S),
ш (46)
=/ на поверхности (S).
Ъп
В частности, функция Wрешает внутреннюю задачу Неймана для всякой
конвексной поверхности Ляпунова.
13. Таким образом, если функция / удовлетворяет условию (38i), то
потенциал двойного слоя W только что доказанной теоремы имеет
определенную (и непрерывную) внутреннюю нормальную производную на
поверхности (5). По третьей теореме Ляпунова он необходимо имеет и
внешнюю нормальную производную, причем на основании (46),
Э We Э W,
- = ¦- = / на поверхности (S).
Ъп Ъп
Следовательно, функция W (см. (44)) дает решение и внешней задачи
Неймана, ибо
A W = 0 вне поверхности (5).
Но ЭТО справедливо лишь для случая, когда заданная функция / подчинена
условию (38t), которое необходимо для возможности внутренней задачи
Неймана и не обязательно для задачи внешней.
рассмотрим общий случай, когда условие (38,) не соблюдается. На Основании
теоремы VII (см. также теорему VIII) предыдущей главы решение внешней
задачи Неймана представляется в виде потенциала просто-to слоя
1 ^ 1 у
У- J -ds f-ds = -P+V', (47)
4 7Г Г 2 7Г г
где десть функция, определяемая рядом (77,) предьщущей главы. Рассмотрим
функцию
Ym--L J-ds*) , (47,)
2тг г
которая может быть представлена рядом V = (И, - К2) + (К3 - УА) + ...
h..l + (Угк - j - Угк) + ... Так как V' есть потенциал простого слоя, то
на поверхности (S)
Й'=К;=(Р, -Йа) + (К3 -Й4) + ... + (Й2*_, -Й2*) + ... (48)
Определим методом Неймана гармоническую вне (S) функцию U \
удовлетворяющую условию
U'e = V'e =V' на поверхности (5) .
Искомую функцию получим по формуле (36,) теоремы III, если в функции у,
определяемой рядом (362), положим**)/= V.
Установим связь между значениями функций Vk и потенциалами Wk Неймана для
точек поверхности (S). Приняв во внимание равномерную сходимость ряда
(48) и равенства (22) предьщущей главы, получаем
^ 1 _, COS _
Wi = - SV'-~ds = (V2-V3)+(V<-VS) + ... lit г
*)Гармоническая в области D' функция V удовлетворяет граничному условию
dVi
- =f-p, причем / (f - р) d,г= 0(см. п. 20 гл. II). В силу приведенного в
начале Эл
этого пункта замечания она совпадает с потенциалом двойного слоя № из
теоремы IV:
1 cos Iр
У'=-------f,J' ------- ds,
2 тг г2
" 1 /-Р
Где м определяется равенством (45), в котором У, --------------/-------
ds, a Vk(k =
2ir г
= 2,3, ...) определяются формулами (43). Такое Представление функции
(''вместе с равенством (47) дают утверждение теоремы V.
В настоящем пункте приводится другое доказательство этого утверждения ( в
его изложение внесены некоторые изменения). (Прим. ред.)
**) В теореме III в качестве функции р можно брать любое не равное
тождественно нулю решение уравнения (30'). Здесь, как и в формуле (47),
берется р - lim р/;,
Ро = /• т-е- решение, удовлетворяющее условию / pds = / fds. (Прим. ред.)
315
Точно так же находим, вообще,
Як = (Й* + I ~ Ук* 2 ) + (Й* + з - Й* + 4) + ...
Отсюда*)
Wt + P' = P,+2Р, Wk + Wk_t = Рк + 2Р.
Пользуясь этими соотношениями, из (362 ) выводим м' = (Й, - Йа) + (Й3 -
Й4) + ... + (Й, +2Р-2С+
+ P2+2P-2Q + (P3 + 2P-2C+ Р4 + 2Р-2С) + ...
... = 2 [(К, + 2Р-2С) + (Й3 +2Р-2С) + ... + (Й2к_, + 2Р - 2С) + ... ] .
Подставив это выражение ц' в (36)), получим
С р 1 - *
U - ~ I- ds - -- / [(К, +2Р - 2С) +
С0 г 2я
+ (Й3 + 2Р-2С) + ... + (Й2*_, + 2Р-2С) + ...] ds. (49)
г
Обозначим Ук + 2 Р через К°
о 1 / 1 р
К, = К, + 2/"= - - /-ds + - /- ds =
2я г 2я г
1 /-р
= - - /-*• (43.)
2я г
1 ЭК*_, ds 1 ds
Кк°=КА. + 2/> = - - f -i-i =
2я Эн г 2я г
= _ 2 Э(К"., +2/>) Л 1 эк;.,
2я Эи г 2я Эи г
т.е. функции Kg получаются по формулам (43) с заменой в первой из них /
на / - р. При этом равенство (49) приме'т вид
, С р 1
С/'= - J-ds- - f [(К?-2С) +
С0 г 2я
- Л cos
+(К3° -2С) + ... + (К$*_, - 2С) + ... ] -f- ds. (49')
г
_ | dj
*) Hm Р* = - - /р - = - 2P. {Прим, ред.)
k-*" 2 7Г г
316
Определим постоянную С. Из формулы (3St), заменяя в ней / на К' Щд, (48)
), получаем
C = fpV'ds I f pds = [(/ р V, ds - / р V2 ds) + ...
,.. + (1 pV2k-ids - f pV2kds) + ... J I f pds. (50)
Умножаем теперь равенство (22) предыдущей главы:
