Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
moQDo
= I(S) - (a) - (a, )I = 2Xi,
2 irLDi
где Xi есть определенное число, отличное от нуля.
Очевидно, далее, что *)
¦2.Г4Р ¦
2 L Л. Л,, i Таким путем приходим к заключению, что
• г 48 JlV 1
1 - - - + < 1 - Xi = т,
2 L Jks Jks. J
где т есть положительное число, меньшее единицы, т.е. что, в силу (45),
-я*_| )т. (49)
15. Предположим теперь, что исходная функция р0 в равенствах (10)
удовлетворяет условию
f pods =0.
*) Отсюда между прочим, само собой вытекает неравенство < 1. 292
При этом в силу (121) будем иметь при всяком к: f pkds = О,
т.е. каждая из функций рк (при всяком к) непременно принимает на
поверхности (5) как положительные, так и отрицательные значения. Тем же
свойством обладает и функция
PkVk, (50)
Ибо, как показано выше, Jk остается положительным во всех точках
поверхности (5). Поэтому
1р*1/Лг - пк, (51)
так как максимум Nk функции (50) непременно положителен, а ее минимум пк
отрицателен.
Положим в неравенстве (49) последовательно к = 2,3,...,ки перемножим
между собой полученные таким путем к - 1 неравенств. Получим Nk - Пк <
1 - л,) г*~1. Это неравенство и (51) приводят к следующему:
1р*1<ЛС^.-и.)т*Т'. (52)
HoW, - л, <2 max( Ipi 1/У1),где¦)
1 cos ф 1 cos ф .
Р1 = - /Ро -г- ds, У, = - S-rr- ds = pt.
2я г 2я г
На основании (48) Jt > Q. С другой стороны, в силу (40),
Ro cos ф " R0L
lpil<--/ -7- ds=R0p°i < -- ,
2я r2 D0
где Л0 обозначает максимум I р01 на поверхности (5). Следовательно,
2R0L
Nl-nl<-~=K,
DoQ
где К есть определенная постоянная, зависящая только от вида поверхности
(5).
Приняв, наконец, во внимание (47') и (40), получаем Jk=p0k<LlD0.
При помощи двух последних неравенств выводим из (52)
1р*| < К ~ г*"1 = Nrk = R0NtTk, (52')
Do
где Ni есть, очевидно, определенная постоянная, не зависящая от Jt, а
только от вида поверхности (5). Это неравенство доказывает следующую
важную для задачи теорему.
Теорема Ш. Если исходная функция р0 в равенствах 1 cos ф
Р*= - - ds, (53)
*) См. равенство (47') (п. 13).
293
последовательно определяющих функции рк, удовлетворяет условию
f p0ds = 0, (53,)
то при всяком *
\рк\ < Nrk = R0NlTk, (54)
где N - число, не зависящее от к, R0, есть максимум I р0\ на поверхности
(S),a т есть положительное число, меньшее единицы, так что
lim pk = О. к -* ">
16. Предположим теперь, что исходная функция р0 в равенствах (53)
остается неотрицательной во всех точках поверхности (5) и удовлетворяет
условию (равенство (13) п. 4)
f Pods = МФО.
Положим
Рк =Рк -Рк-1 (*=1,2,3, ...).
Функции р'к удовлетворяют, очевидно, уравнениям
, 1 , cos ф
Рк= - f Рк-1 -г~ ds 2я г2
(* = 2,3,...),
причем исходной функцией при последовательном вычислении функций р'к
здесь служит функция р\ = р, -Ро, которая в силу равенства (12,) п. 4
подчинена условию
/ р\ ds = 0.
Применяя к функциям р'к теорему Ш, получаем
1рЦ<ЛГт*-'. (55)
Отсюда следует, что ряд
Р = Ро + Р1 + Pi + • • • + Рк + • • • (55,)
сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), т.е.
представляет непрерывную на поверхности (S) функцию р,ичто
lim pk =р.
k-юо
Таким образом, доказывается следующее предложение.
Теорема IV. Если в равенствах (53) последовательно определяющих функции
рк, исходная функция р0 не равна нулю и остается неотрицательной на
поверхности (S), го рк при беспредельном возрастании к стремится
равномерно к определенному пределу, не равному нулю *), который
представляет собой непрерывную и неотрицательную функцию координат точек
поверхности (S).
*) Так как / pkds =//>,* =М при всяком к, а последний интеграл не равен
нулю.
294
17. Остается только доказать, что функция р, определяемая бесконечным
рядом (551), действительно удовлетворяет и уравнению Робена
1 cos ф
Р = - f Р -- ds (56)
2я г
и условию
/ pds = М, (57)
где М есть заданное число.
На основании теоремы IV мы можем найти такое достаточно большое целое
число к0, что будет
I р - р* I < е при к>ко, (58)
где е есть наперед заданное положительное число. Представим равенство
(12(), имеющее место при всяком к, в виде
f (Pk-P + P)ds-M = О,
или
/pds -M = f(p-pk)ds.
Отсюда на основании (58) выводим
I fpds-M\ < eS = e'
- неравенство, равносильное равенству (57).
Напишем затем равенство (53) в виде
I cos ф
Р~ - 5Р -Г~ ds =
2я г2
I cos ф
= (Р-Рк)+ - f(Pk-i -Р)-- ds. (59)
2я г
Имеем, приняв во внимание неравенства (3) п. I и (58),
II cos ф I е ds L
- НРк-1-р)~-Г ds\<- - .
2 я г | 2 vDo г D0
При помощи этого неравенства и (58) из (59) выводим
1 cos ф I / L \
Р - -г- / Р -- А < е (1 + - )=е,
2я г2 I V D0 >
где е" есть произвольно заданное положительное число. Отсюда сейчас же
вытекает равенство (56). Из равенства (56) следует, что функция р
положительна.
Таким образом, получаем следующую основную теорему электростатики.
Теорема V. Возьмем произвольно функцию р0, неотрицательную во всех точках
конвексной поверхности (S) Ляпунова и подчиненную условию
f pods = М,
где М есть заданное положительное число, и составим последовательно ряд
