Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
V-S~r ds, (4)
что функция V постоянная для всех точек внутри (S).
Эта задача называется также основной задачей электростатики или зада-
чей о равновесии электричества на данном кондукторе.
Рассматриваемая задача представляет собой частный случай внешней задачи
Дирихле: найти гармоническую вне поверхности (5) функцию V в виде
потенциала простого слоя (4) при условии Ve = const на поверхности^.).
Если такая функция V будет найдена, то по теореме Пуассона (равенства
(108) и (109) гл. I)*)
ЭК, dVe
57 - 17 ' ^ <5>
В данном случае Ve = Vt- const на поверхности (S), т.е. К = const внут-
ри (5) и
Wi , .
~а°. (6)
Ъп
При этом равенство (S) дает решение задачи Р =
1 ЪУ. 4тг Эл
Но решение может быть получено и непосредственно, не переходя через
задачу Дирихле.
Применив к потенциалу К формулу (108) (гл. I) и учитывая (6), Получаем
для определения р следующее уравнение:
1 р cos ф
2^ 1 ~
Р = - / "1-------------------------------- ds. (7)
Это уравнение будем называть уравнением Робена. Уравнение (7) есть так
называемое теперь интегральное уравнение, к решению которого, таким
образом, сводится задача.
Вообще, первые попытки решить задачу электростатики методом
последовательных приближений принадлежат, если не ошибаюсь, немецкому
физику Бееру**), но задача была поставлена надлежащим образом и
обстоятельно изложен метод ее решения только в 1887 г. молодым
французским ученым Робеном***), который привел ее решение к интегральному
уравнению (7),
*) Рассматриваются только непрерывные плотности р. (Прим. ред.)
**) См.-С. Neumann. Untersuchungen iiber das Potential. - Leipzig, 1887,
Cap. 6
***) G. Robin. Comptes Rendus de i'Academie des Sciences de Paris, T.CIV
(1887). Также "Oeuvres scientifiques de G. R о b i n" (Paris, 1899, p.
60).
279
воспользовался для его решения методом последовательных приближений, идея
которого принадлежит Коши, а для доказательства сходимости полученных
приближений - методом так называемых арифметических средних К. Неймана*).
Исследования Робена до сих пор излагаются без всяких дополнений в
трактатах по теории притяжения и по анализу (см., например, Е. Picard,
"Traited'Analyse", последнее издание), но они страдают одним существенным
недостатком, на который не обращают внимания.
Уравнение (7) допускает очевидное решение
р = О,
но требуется найти или доказать существование положительной функции р,
удовлетворяющей уравнению (7), отличной от нуля.
Этого доказательства метод Робена не дает и устанавливает лишь следующее
положение: если существует решение уравнения (7), отличное от нуля, то
оно может быть найдено путем последовательных приближений по приему
Робена, но вопрос о том, возможно ли нр самом деле такое решение,
оставляет открытым. Решение же этого вопроса имеет существенное значение
для математической физики по соображениям, развитым в гл. III части I.
Мне удалось пополнить этот недочет еще в 1897 г. для случая поверхностей,
мало уклоняющихся от сферы, а затем и для конвексных поверхностей с
конечной и определенной кривизной в каждой точке**). В 1900 г. я
распространил полученный результат и на все поверхности Ляпунова***).
В настоящей главе мы изложим решение задачи для конвексных поверхностей
Ляпунова (п. 1), имея в виду попутно изложить и метод арифметических
средних К. Неймана, общее же решение вопроса для каких угодно
поверхностей Ляпунова, когда только что упомянутый метод неприменим,
дадим в одной иэ последующих глав.
3. Сущность метода последовательных приближений, который Робей
применил к решению уравнения (7), в общем виде может быть выражен
следующим образом.
Остановимся для простоты на случае одной неизвестной функции и, зависящей
от какого-либо числа m независимых переменных tlt t2, ..., tm.
*) Теория интегральных уравнений получила широкое распространение с
начала девятисотых годов, благодаря преимущественно трудом Фредгольма и
Гильберта, приоритет же введения в науку этих уравнений приписывают
иногда итальянскому математику Вито Вольтерра, изучавшему линейное
интегральное уравнение с одной переменной в 1896 г. в мемуаре ''Sopra
alcunequestion! di inversion! di integrali definiti" (An-nali di
Matematica, Т. XXV).
Как видим, Робен раньше других (за 9 лет до Вито Вольтерра)
воспользовался интегральным уравнением для решения одной из важных задач
математической физики и указал способ его решения при помощи метода
последовательных приближений.
**) ВЛ. Стекло в. К вопросу о существовании конечной и непрерывной внутри
данной области функции координат, удовлетворяющей уравнению Лапласа и тд.
-Сообщ. Харьк. Матем. Общ., 2 сер.. 1897, т. V.
W. Stekloff. Sur le ргоЫёше de la distribution de 1' electricity et le
problime de Neumann. - Comptes Rend us de l'Acad. des Sciences de Paris и
Сообщ. Харьк. Матем Общ., 2 сер., 1897, Т. VI.
***) W. Stekloff. Les methodes gln&ales pour rlsoudre les problSmes
fondamentaux de la physique mathematique. - Annales de Toulouse, 2 s.,
