Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется.
Предположим сначала^ что функция / удовлетворяет условию (64), и составим
потенциал V простого слоя с плотностью д/(2я):
V- ± "*)
По теореме Пуассона
dVj bV 1 cos ф
- = Д+ - = Д- - /д -- ds. (67)
on on 2я г
Так как в данном случае ряд (63) сходится равномерно, то
1 cos ф 1 cos ф 1 cos ф
- /Д -г" ds = -- //--- ds + e - f рi -- ds+ ...
2я г2 2я г2 2я г2
*
.1 cos ф
... + е* - /р* -- Л+ ....
2я г1
т.е., в силу (63^,
1 cos ф .
- /д -- ds = pi + ер2 +е Рз + ... + e*p*+i + ...
2я г2
и
1 cos ф ,
Д - - /д.-7- с/S = - Pi +/- е(р2 -Pi)-e (Рз -Pj)+ •••
2я г2
... - е* (р*+| - р*).
При е = 1 получаем
cos ф
2я г
-(Рз -Рз)- ... - (Р*+1 - Р*) - ••• =/- lim Р*=/> (68)
Л
Д - - /Д -j- ds= f-p\ - (р2 - Pi) -
ибо при условии (64) на основании предыдущего lim р* = 0.
Равенства (67) и (68) дают
ЭР/
-- = / на поверхности (S).
Ъп
Функция V, определяемая равенством (66), дает, следовательно, решение
внутренней задачи Неймана.
20. Рассмотрим теперь внешнюю задачу Неймана, т.е. будем искать
гармоническую вне поверхности (S) функцию V, удовлетворяющую условию
ЪУ
-- =/ на поверхности (S), (69)
Ъп
где/ - какая угодно заданная (непрерывная) функция координат.
298
Положим
Р = (/ - Pl) + (P2 ~Pi) + • • • + (Р2* -Р2Л+1 )+ • • •
(70)
и составим потенциал простого слоя
(71)
Применив опять теорему Пуассона, получаем ЭН, ЪУ 1 cos ф
cos ф
(72)
Так как по предыдущему ряд (70) сходится равномерно на поверхности (S),to
в силу (631),
1 cos ф
- /Р -г~ ds = (p 1 -Pj) + (Pj -Р4>+ • •• +(P2* + i -Р2*+г)+ • •• 2я г2
При помощи этого равенства и (70) выводим из (72)
ЭИ,
-- = / - Ра+(Ра-р4)+ • • • +(Рг*-Р2* + г)+ • • • = / " lim р2* + 2-
ЭЯ * - оо
Здесь нужно различать два случая: когда интеграл
равен нулю и когда этот интеграл отличен от нуля.
В первом случае lim Pik+i =0 и равенство (73) обращается в (69).
При этом'потенциал простого слоя (71) даст решение внешней задачи
Неймана.
Во втором случае lim р2*+2 = р, где р есть плотность электрического
слоя, находящегося в равновесии на поверхности (5) и подчиненного ус
ловию
Потенциал V (см. (71)) дает гармоническую вне (5) функцию,
удовлетворяющую условию
/ i ds
(73.)
* - оо
/ pds = / /'ds Ф 0.
f73')
(74)
Положим
1 Р
Р= - / - ds.
4я г
(75)
Имеем
ЭР,- ЭР, ЭР,
I V' f <¦
Г~ = р, т.е. -- = - р. При помощи этого равенства и
Ъп Ъп Ъп
(74) получаем (равенство (75)) эк; ЭКе
= -------- + р =/ на поверхности (5).
Ъп Ъп
Следовательно, функция V', определяемая равенством (75), дает решение
внешней задачи К. Неймана, когда интеграл (731) от заданной функции f не
равен нулю.
Сопоставляя все сказанное в двух последних пунктах, приходим к следующим
теоремам.
Теорема VI. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверхности
(S), подчиненная условию
f fds = 0.
Вычисляем последовательно ряд функций р* (А: = 1, 2,3,...) по формулам
1 cos ф 1 * cos ф
Р\ = - / / -- ds, pk = - S Pk-1 -;- ds, (к = 2,3,
2п г 2 п ¦ г
(76)
Составляем функцию
Р~ /+ Pi + Pi + • • • + Pk + • (761)
и потенциал простого слоя 1 Р
К= - S -ds. (77)
2п г
Полученная таким путем функция V есть функция, гармоническая внутри (5) и
удовлетворяющая условию
ЭК
-- = / на поверхности {S),
Ъп
т.е. дает решение внутренней задачи К. Неймана для всякой конвексной
поверхности Ляпунова.
Теорема VII. Пусть f - какая угодно непрерывная функция точек поверхности
(S). Положим
f Jds = М,
где М - какое угодно число, в частности нуль. Составляем, как и в
предыдущей теореме, последовательно ряд функций рЛ (А: =1,2,3,...) по
формулам (76) .Полагаем
P = (f~ Pl) + (P2 "Рэ) + • • • +(Р2* -P2*+l)+ • • • (77l)
и
P=/+(Pl -/) + (Р2 -Pl)+ • • • + (Р* -Pk-1)+ • • •
и.составляем затем потенциал простого слоя
1 / р \ ds
К=- - 1[р + ~-) - • (78)
2я \ 2 / г
300
Полученная функция V представляет собой функцию, гармоническую вне
поверхности (S) и удовлетворяющую условию
dVe
= f на поверхности (5),
Ъп
т.е. решает внешнюю задачу К. Неймана для всякой конвексной поверхности
Ляпунова.
21. Заметим, что на основании того, что сказано в п. 18, можно
высказать следующую, более общую теорему.
Теорема VIII.Функция V, определенная равенством (77) теоремы VI , решает
внутреннюю задачу К. Неймана для всякой поверхности, к которой приложим
принцип Робена (неравенства (60)), а функция, определенная равенством
(78) теоремы VII, дает решение внешней задачи К. Неймана для всякой
поверхности, обладающей только что указанным свойством.
Можно было бы сначала доказать эту общую теорему, а затем, показав, что
принцип Робена действительно имеет место для конвексных поверхностей
Ляпунова*), вывести из зтой общей теоремы, как следствия, теоремы VI и
VII, но мы предпочли иной, как нам кажется, более естественный ход
рассуждений, который сам собой привел нас к представлению о принципе
Робена и выяснил его важное значение.
ГЛАВА III
Принцип К. Неймана как непосредственное следствие принципа Робена.
Решение задач Дирихле и Неймана для всех поверхностей Ляпунова, к которым
