Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
2я г2 2я Ъп г
имеющему место на поверхности.
Применив к последнему из равенств (19), заменив в нем * на *- 1,теорему
Пуассона, получаем
cos <*Ук-х 1 ЪУк-г 1
2пУк-х ~/ Ук-х -- ds+ f --- - ds - f ------------------------ - ds,
г Ъп г Ъп r
откуда при помощи тех же равенств (19) выводим
1 cos
- /Ук-х -
2я г
Ук= - /Ук-х -Г ds (* = 2.3, ...) (22)
285
- замечательное соотношение, устанавливающее весьма простую связь между
значениями двух последовательных потенциалов Ук и Vk _ t для точек
поверхности (S).
7. Возьмем потенциал двойного слоя
1 cos Iр
w= т ffi - ds <22'>
2 n r
и выведем одно общее неравенство, лежащее в основе так называемого метода
арифметических средних К. Неймана.
Будем рассматривать значения функции W на поверхности (S). Разобьем эту
поверхность на две части (а) и (0) так, чтобы для всех точек части (а)
функция д заключалась между М и (М + от) /2, а для всех точек
части
(0) - между от и (Л/ + от) /2. Здесь под Л/ и от подразумеваются
соответст-
венно наибольшее и наименьшее значения д на всей поверхности (5).
Возьмем какую-либо определенную рчку s на поверхности (5) и значение W в
этой именно точке будем обозначать через Ws. Имеем
1 cos Iр 1 cos Iр
= - / Ч -j- ds + - / д -;- ds, (23)
2п (а) г1 2тг "?) г1
где символами / и / мы обозначаем интегралы, распространенные cote) (?)
ответственно на части (а) и (0) поверхности (5)*). Обозначим через /<а) и
соответствующие значения интеграла
cos<p
/ -j- ds (24)
гi
для ТОЧКИ S **).
По теореме Гаусса для любой точки s поверхности (5)
/(<О + /<Р) = 2тг. (25)
Из равенства (23), учитывая сделанные предположения о пределах, между
которыми заключаются значения функции д на частях (а) и (0) поверхности
(5), выводим
. . М + т ...
2vW,<MI{sa) + -j- W,
или, в силу (25)
М -от
Wg<M~. - (26)
4тг
С другой стороны, подобным же путем убеждаемся, что
М+т ,п. ...
2*WS>---------- /<•> + от/</>
*) Под интегралами по (а) и (0) удобно понимать интегралы Лебега. (Прим.
ред.).
**) То есть интегралы вида (24), распространенные соответственно на части
(а) и
(0), ДЛЯ ТОЧКИ I.
286
и, на основании (25),
М - т ,
Ws>m+- /</>. (26')
4jt
Применим последнее в какой-либо другой точке s, поверхности (5). Получаем
М - т
К'. > т + ----------- /<">.
4jt в|
Вычтя это равенство из (26), находим
/</> + /,<">
(26.)
I + V
^ - и^,- < (м - ш) h - -i ).
8. Положим
/<<*> + /j">
* = ~ ¦ ' • (27)
4я
Так как в силу теоремы Гаусса О </,<"> <2я, 0<//>< 2я.
Где бы ни лежали точки s HS) На поверхности (S) и каковы бы ни были части
поверхности (а) и ф), то
/</> + /<">
4jt
1. (28)
Опишем теперь около точек s и s i, как центров, сферы достаточно малого
радиуса R<D и обозначим через (о) и (ст,) площадки, вырезаемые этими
сферами на поверхности (5). Площадка (oi) может либо целиком лежать на
части (а), либо захватить только часть ее. Обозначим, вообще, часть
площадки (<7i), принадлежащую части (а), через (а\), а часть (а), лежащую
вне (cti ), - через (а'). Имеем
(а) = (а',) + ("'). (29)
Для рассматриваемых нами поверхностей (см. п. 1) будем иметь для то-
, cos* ш0 ,
чек части (а ): cos * > т0. Поэтому /} ' = / -- ds >
-- (а), ибо
1 "*') г2 D]
г остается меньшим некоторого числа Dt, так как размеры поверхности (S)
конечны. Отсюда, в силу (29),
[(")-("'.)]>-" [(") - (а.)],
Lf 1 L)1
ибо, очевидно, (ai )^ (cti).
Так как, далее, > /,(" *, то
т0
l*° Т\ [(a)~(a,)1-
287
Совершенно так же докажем, что и
./ял то
Ф > -гг т-т,
L>\
т.е.
/<<*) + /(" ~
Х= ' > -2 t(a)+№-(")-(о.)] =
4я 4я?>1
т° [(5)-(о)-(о,)], (30)
4л?)|
где (5) означает площадь всей поверхности. Отсюда заключаем, что
оставаясь меньшим 1, не опускается ниже известного предела, отличного от
нуля, где бы ни находились точки s и st на площадках (а) и (/3) и каковы
бы ни были эти площадки.
Итак, на основании (28) и (30),
0 <Хо < X < 1, (31)
где Хо есть число, меньшее единицы и отличное от нуля.
9. Обращаясь теперь к неравенству (261) и учитывая (31) и обозначение
(27), можем писать
Ws - Ws> < (М - m) (1 - Хо) = (М - т) т,
где т есть положительное число, меньшее единицы.
Если теперь обозначим через Mt и mt максимум и минимум функции № на
поверхности (5), то получим
Mt -от, <(М-т)т, т< 1. (32)
Это и есть основное неравенство К. Неймана, справедливое для всякой
конвексной поверхности *).
Заметим еще, что из неравенств (26) и (26') вытекают неравенства
Мх <М, mt >тп, (33)
М-iп ... М-m ,
так как Pf' и -------------------1у> всегда неотрицательны.
4я 4я
10. Будем обозначать значение р* в какой-либо определенной точке s
поверхности (5) через р*,; значение р* соответствующее частному
предположению, что начальная функция
Ро = 1, (34)
обозначим через р*" а значение К* при этом значении р0 - через V°kJ.
По
ЭК*, " 3F?,
предыдущему (равенство (21)) р*, = • , р*, = , где в
правых
Эл Эл
частях равенств подразумеваются значения нормальных производных от К* и
И* в точке s поверхности (5).
*) Для неконвексных поверхностей это неравенство, вообще говоря, не имеет
