Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1Л<Мо5,(с'+с")г, =с,г,, (160)
где с, есть определенная постоянная.
50. Сопоставляя неравенства (154), (158) и (160), получаем
R
1/1 + I/, I + i/I < aR + с,г, + lira'noTi In -- .
R
Что же касается г,, то оно подчинено лишь условию г, < Л/2.
Всегда можем положить Л = Зг,, причем будем иметь
\J I + I/, I + 1/1 < А г, +grt llnr, I,
где А и g - определенные постоянные. Так как для любого 0 < 1 всегда
можно подыскать число gt такое, что будет иметь место, неравенство г, 1
log г, | <g,r 1, то предыдущее неравенство можно заменить таким: i J\ +
I/, I + i/I < Хг Р.
Очевидно, что это неравенство можно считать справедливым для всякого
достаточно малого г,, а числа X и 0 < 1 - не зависящими от положения то-;
чек ро ир, на поверхности (S) •
Равенство (151) дает при этом I И/, - И/0 I < Хг? - неравенство,
справедливое для всякой точки Ро поверхности (S) и для всякой точки р,,
расстояние которой от Ро не превосходит некоторого определенного предела.
Таким образом, приходим к следующей теореме, доказанной впервые А.
Корном*) в частном предположении 0 < 1/2 и обобщенной затем Ляпуновым**).
Теорема А. Корна, обобщенная Ляпуновым. Какова бы ни была поверхность (S)
Ляпунова, около каждой ее точки р0 можно описать сферу достаточно малого,
но определенного радиуса ?>, (<одинакового для всех точек поверхности
(5)), такую, что для всякой точки рповерхности (S),лежащей внутри этой
сферы, потенциал двойного слоя
рCOS ifi
W = /•-----1 ds
г2
удовлетворяет неравенству I W - W01 < \rp,
где 0 - произвольное число, меньшее единицы, а X - определенное число,
*) А. К о г п. Abhandlungen zur Potentialtheorie, Bd. I. - pp. 5 -8.
**) A. Liapounoff. Sur le principe fondamcntal de la methode de Neumann
dans le problime de Dirichlet. - Сообщ. Харьк. Матем. Общ., 2 сер., 1902,
т. VII.
273
не зависящее от положения точек р0 и plf при одном условии, что функция р
остается ограниченной на поверхности (5).
S1. Предположим теперь, что напряжение р потенциала двойного слоя W
обладает следующим свойством:
Для всякой точки ро поверхности (5) и для всякой другой точки pi (той же
поверхности), расстояние которой от точки р0 не превосходит некоторого,
хотя бы и достаточно малого, но определенного предела Dlt не зависящего
от положения р0 на (5), имеет место неравенство
где X и Р< 1 суть данные числа р и р° - значения р в точках р t и р0, а
г, - по-прежнему расстояние poPt-
Разность Wi - Wq есть некоторая функция полярных координат риы точки р 1.
Дадим р некоторое, достаточно малое значение, при котором соблюдается
условие (161), и найдем высший предел модуля выражения
Обозначая теперь через У, Уi и У' интеграл правой части равенства (163),
распространенный соответственно на площадки (о), (а,) и на часть (51)
поверхности (5), можем писать
1 2п 1 2 тг 1 2я 1 2п
/ (^i - W0)dcj= - / Ус/со + - / Jidu) +
- / У'У со.
2я о 2я о 2я о 2я о
(164)
Интегралы У, Уi и У' отличаются от интегралов того же обозначения
предыдущих пунктов только тем, что функция р последних заменена здесь
разностью р-р°.
Поэтому, применив к интегралу У дословно рассуждения п. 47, предполагая
при этом, что все поставленные там условия относительно величин R0, R и
rt выполнены, получим
1У1 < 18ira'poR,
где под до теперь нужно подразумевать максимум модуля разностир-р° на
площадке (о).
Предполагая У? выбранным так, что во всех точках (о) условие (161)
удовлетворяется, что всегда возможно, получаем
1У 1 < 18ira'\Rr'P,
где г' есть расстояние от р0 той точки площадки (а), где \р -р° \ имеет
(161)
(162)
Подынтегральная функция всегда может быть представлена в виде
(163)
так как по теореме Гаусса
274
наибольшее значение. Отсюда на основании (143) выводим
1Л < 18яв'х(у) Rp+l = aR<*+l, (165)
где а есть определенная постоянная.
Таким образом,
-1 I У J(lb)\ < aRe+l. (165,)
2я о
52. Найдем теперь высшие пределы модулей двух остальных Интегралов
равенства (164). Равенства (155) и (156,) дают
COS \р COS
тг~ =
/1 I \ f 1 cos д ( df df \ cos д
= 1-7 j-1r0 cosi^o------------------- +U, -- +77, - I -j- .
V rJ Го 7 rJ 4 dlf Э77 ' rJ
Положив
/1 1 , Й! +ТР?! \ " COS
:= \T3 - TT -3 ГГ- j'-ocos^o-f, -
4 г Го Го г
(г-гК-З-*)-*
.. , 066)
гЗМ" Э* Э77
проведем предыдущее равенство к виду
COS *Р COS 1^0 Й! +TJT?,
- - ------------ = 3 cos <р0 +
rJ Го Го
3f 3f \ cos д
7,1 Э77 ' rl
Так как от со зависят только величины г, ?, иг?, и $, = р cos со. л, = =
р sin со, то
2 я / COS "р COS "Ро \ 2 я
/ (-у 3-- J с/со = / Шсо. (167)
/ df 3f \ cos i?
U. - + Hi - -3- + П. (166,)
V at dn / rs
0 \ r- rJ / o
Приняв во внимание равенство (167), получаем
2п " Г 271 I COSip COS^o \ 1
/ У, с/со = /(р-р°) / ( -- - -) </со I dO\ -
о L о \ г Го / J
= / (р-р°)( / Шсо)Jo,. (168)
I 3f
Заметив, что $, ----------- +77, -
Э? Э77
<' Л 7)' <a'/w
г,г0, и учитывая неравенства (150), (157,), (1472) и (150,),
275
выводим из (166)
Ifil < (6(fl\/J + 6)/?2 + 9br2 + 7л>/ЗЛг, )cos dlrl.
откуда, на основании (148,), IS2 | < а
