Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1900, Т.- II.
В. С т е к л о в. Общие методы решения основных задач математической
физики. - Диссертация на степ, доктора, Харьков, 1901.
280
Допустим, нам известно, что если совершим над искомой функцией и
некоторую Определенную аналитическую операцию, которую обозначим через
й(м), то она должна быть равной некоторой другой, также определенной
аналитической операции Slt, совершенной над функцией и и независимыми
переменными t\,t2, ... , tm,от которых зта функция зависит, так что
Если мы подставим в ?2t вместо и какое-либо определенное его выражение в
переменных tx, t2, ..., tm, то правая часть уравнения (8) обратится в
определенную функцию от этих переменных. Предположим операцию П такой,
что если положить
где / есть некоторая определенная функция от переменных tt, t2 t,",
то можно найти выражение функции и при помощи также определенной
операции со, совершенной над этими переменными, т.е. и = oj(r,, г2 ).
Подставим в правую часть уравнения (8) вместо и какую-либо произвольно
взятую (но определенную) функцию от переменных г,, г2............,
которую обозначим через и0, и обозначим соответствующее значение и через
и!. Получим уравнение
Si(ut) = ?2,(и0, tx, t2, ..., tm),
из которого на основании только что сказанного выводим их = ы(н0. li. t2
tm). Подставляем затем в (8) вместо и только что полученное выражение и
1, получим новую функцию и2, определяемую уравнением )= = .f2i(M,, tu t2,
..., tm), которое дает, как и в первом случаем2 =co(Ui. h. h, • ¦ •,
t",). Полученное выражение и2 снова подставляем вместо и в правую часть
уравнения (8); получим S2(u3) = П, (и2, t\, t2, .... tm) и
отсюда и3 = со(и2, , t2, ______ tm). Продолжая таким образом далее,
после
к указанных действий получим ик = со (u* _ |, , t2 tm).
Оказывается, что во всех известных нам конкретных случаях, будет ли
уравнение (8) представлять собой алгебраическое уравнение, или
дифференциальное, или интегральное, или функциональное, или некоторую
смешанную их комбинацию и т.п., составляемые указанным выше приемом
функции
Ui,u2, и3 ик, ... (9)
при совершенно произвольном выборе исходной функции и0 с увеличением
числа к указанных действий будут все более приближаться к искомой функции
и, удовлетворяющей уравнению (8), если таковая существует. В пределе при
к^*°° получим, вообще говоря, как раз искомую функцию и.
Во всех известных случаях оказывается, что ряд
и0 + (и, - и0) + ("2 - "1 ) + • • > + ("* - и* -1 > +
сходится равномерно и, следовательно, представляет искомую функцию и= lim
ик, действительно удовлетворяющую уравнению (8).
Этот замечательный прием решения уравнений различных типов, получивший
иячваиие метода последовательных приближений, был указан впервые Коши для
дифференциальных уравнений; этбт же прием был употреблен
281
S2(u) = i2,(u, t2 tm).
(8)
Щи)= /(/, ,t2 tm).
(8.)
Рк = - f Pk-i -- ds. (10)
Гауссом при решении задачи об определении орбит планет и комет по трем
наблюдениям. Общность и первостепенное его значение были выяснены только
в конце прошлого столетия, главным образом изысканиями Пуанкаре, Пикара и
др. Только что описанный метод и применил Робен к решению основного
уравнения электростатики (7).
4. Подставим в правую часть уравнения (7) вместо р произвольно взятую
непрерывную функцию р0 • Получим
1 cos ф
Pi ~ - I Ро -:- ds.
2 v г1
Подставляя туда же вместо р только что полученную функцию pt, на-
ходим 1 cos ф
Рг = - I Pi -Г~ ds 2я г2
и тд.; вообще
1 cos ф
- / Pk-i ;
2я г
Само собой разумеется, априори нельзя утверждать, что рассматриваемый
прием всегда дает действительное решение задачи, а потому в каждом данном
случае необходимо это доказывать.
В рассматриваемой задаче, как уже упоминалось, одно очевидное решение р =
0 несомненно существует. Употребленный нами прием может как раз привести
к этому последнему, и если этот прием вообще приводит в данном случае к
решению задачи, то естественно предположить, что при некотором выборе
исходной функции ро и должно получиться именно это решение р = 0.
С другой стороны, очевидно, что если какая-либо функция р, не равная,
тождественно нулю, удовлетворяет уравнению (7), то ему же удовлетворяет и
функция Ср, где С есть какая угодно постоянная.
Таким образом, уравнение (7) не вполне определяет искомую функцию. Но
указанная неопределенность исчезнет, если мы поставим условие, чтобы р,
кроме уравнения (7), удовлетворяло еще и следующему:
fpds = M, (11)
где ЛГ есть заданная постоянная, что физически равносильно, очевидно,
предположению, что наперед задается масса электрического слоя, который
должен находиться в равновесии на поверхности (5). При этом
дополнительном условии исключится само собой и решение р=0. Задача
сводится, следовательно, к определению функции р, удовлетворяющей
уравнению (7) при условии (11). Это последнее налагает некоторое
ограничение на произвол выбора исходной функции р0 •
В правой части равенства (10) интегрирование совершается по переменным ?,
