Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
будет ли при этом z оставаться положительным или отрицательным.
Из сказанного, приняв во внимание равенства (133), заключаем, что для
всякой поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя имеет в каждой ее
точке определенные внутреннюю и внешнюю нормальные производные, равные
между собой, коль скоро напряжение д слоя удовлетворяет условию (134).
Так как, далее, число е отнюдь не зависит от выбора точки р0 на
поверхности (5), то эти нормальные производные суть правильные*).
Условие (134) является достаточным для существования определенных
нормальных производных от потенциала двойного слоя.
44. Полученные результаты установлены впервые, как упомянуто выше,
Ляпуновым. Нетрудно дополнить теорему Ляпунова, показав, что условие
(134) существенно', для существования определенных нормальных производных
от потенциала двойного слоя недостаточно требовать выполнения условия
(134) с 0 = 0.
Поверхность (S) примера, рассмотренного в п. 34, очевидно, удовлетворяет
всем условиям Ляпунова.
Напряжение д = Хр есть непрерывная функция координат на площадке (о) и
всегда может быть сделано таковой же на всей остальной части (5). Но в
рассматриваемом частном случае
/ (д - д°) Jw = X / pUu = 2Tt'kp, о о
т.е. при достаточно малом р
| / (д - д°) (1ш 1 > 27Г\У*+1 о
каковы бы ни были положительные числа 0 и X'.
*) Отметим, что при этом предельное значение 1 яв-
\ Э/i / Эн, Эн
ляется непрерывной на (5) функцией. (Прим. ред.) Р"
267
Условие (134) не удовлетворяется, и потенциал двойного слоя не имеет
HopMajtbHbix производных в точке р0. Сопоставляя все сказанное в этом
пункте и в конце предыдущего, приходим к следующей теореме.
Обобщенная теорема Ляпунова (четвертая). Для того чтобы потенциал
двойного слоя имел правильные внутреннюю и внешнюю нормальные производные
в каждой точке какой-либо поверхности Ляпунова, достаточно, чтобы
напряжение ц этого слоя оставалось непрерывным во всех точках поверхности
и удовлетворяло в любой точке р0 и при значениях p<Dусловию
|'/' Qi-n°)dw\ < \fP", (141)
о
где X и Р суть положительные числа, не зависящие ни от р, ни от положения
точки р0 (напряжение в которой равно р°) на рассматриваемой поверхности,
причем выполнение условия (141) с $ = 0 не гарантирует существования
внутренней и внешней нормальных производных потенциала двойного слоя.
4S. Докажем, наконец, еще две теоремы, относящиеся к теории потенциала
двойного слоя, которые необходимы для строгого и общего решения основных
задач математической физики. Для этой цели придется установить
предварительно новый ряд неравенств, справедливых для всякой поверхности
Ляпунова.
Возьмем какую-либо точку р0 поверхности (5) и снова воспользуемся
цилиндрами вращения радиусов
R0 и R<R0<DI2 (см. п. 19), (141,)
общей осью которых служит нормаль к (5) в точке р0, и следующими
обозначениями.
Площадку, вырезаемую цилиндров радиуса R0 на поверхности (5), обозначим
через (о0), площадку, вырезаемую цилиндром радиуса R, - через (о), через
(oi) - пояс поверхности, ограниченный контурами площадок (о0)и(о); часть
поверхности (5), остающуюся за выключением из нее площадки (оо),
обозначим через (5(). Возьмем точку р, на площадке (о) и обозначим через
г{ расстояние точки Р\ от точки р0. Расстояние точек р0 и pi от какой-
либо точки р поверхности (5) обозначим соответственно через г0 и г. Угол,
составляемый направлением pip с внешней нормалью п в точке р, обозначим
через у, а через обозначим угол, составляемый направлением pop с той же
нормалью п. Начало прямоугольной системы координат ?, г?, f поместим в
точке р0, приняв за ось f направление внешней нормали по к поверхности
(5) в точке р0. Координаты переменной точки р обозначим через ?, 17, f,
координаты точки Р\ - через ? i, 171 и ti ¦
Предположим, что точка р лежит на площадке (о). Имеем
/•</•1 +г0. (142)
Возьмем точку р\ достаточно близкой к точке р0 и положим Г\ < R/2. Вводя
по-црежнему цилиндрические координаты р и со с началом в точке Ро и с
осью, направленной по нормали п0, получаем (п. 18) г0 < 2р. При этом
неравенство (142) дает
г < 2p+R/2 < 5R/2. (143)
268
Приняв
R < 20/5,
(144)
будем иметь
г < 0, г, < 0/5.
(145)
Возьмем теперь полярные координаты р и ш с началом в точке р i и с осью,
направленной по внешней нормали п , к (S) в точке р,, и обозначим через |
\ т/, f* прямоугольные координаты точки р по отношению к системе
координат с началом в р, и осью f", направленной по л,. Так как при
сделанных условиях на основании (145) точка р находится внутри сферы
радиуса 0 с центром в pi, то, по предыдущему (равенство (54) п. 18),
Обозначив через д' угол между нормалями п и л,, можем писать rcos<p =
Точно так же докажем, что для любой точки р, лежащей на площадке (о), при
сделанных допущениях,
если предположить, например, что b2p2 < b2R% < 1/4, что всегда возможно.
46. Предположим теперь, что точка р находится на площадке (oi).
Обозначая через а угол между направлениями р0р, и р0р, получаем г2 = г о
