Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
10,1 <2/llzl(p2 +z2) + 2В(р2 +z2)2. (130)
Так как функция р предполагается непрерывной на поверхности (5),
то, выбрав R достаточно малым, будем иметь
1р-р°|<т} (131)
для всех точек площадки (о). При помощи зтого неравенства и (130)
получаем
1*1
2 гг R pQi
S S ,-Т 2,5/2 (Д-М )ф
о о (р +г*у'2
{r pdp r pdp )
Mz\f "1 ТТп +в s У , 7 •
о (р + z ) о s/p2 +z2l
Но
R pdp /1 1 \
lzll (p2+z2)3/2 = |г|(^ "TfW j<1'
/ ~ г f ^ = VЛ2 +Z2 - v/z7 <л.
о V(p2 +z2)
Следовательно,
|К| <4ят?И +BR)=el2,
где под е можем подразумевать наперед заданное положительное число,
стремящееся к нулю одновременно с R.
264
С другой стороны, очевидно, что разность ?2(z, R) - Г2(-z, R) стремится к
нулю при z -*¦ 0, каково бы ни было R, отличное от нуля. Выбрав R
указанным выше способом, можем выбрать затем такое положительное число 6,
что будем иметь
\Sl(z,R)-?l(-z,R) I < е/2
для всех z, таких что Iz | < 6.
Так как S2(z, 0) - Ti(-z, 0) = К + [S2(z, R) - ?2(- z,/?)], то при
сделанном выборе R и z получаем
m(z,0)-?2(-z,0)| <е. (132)
Но
Э W ъ w>
lim Sl(z, 0) = --lim ?2(-z,0) =---------------------------------- . (133)
г -+0 Ъп z-"+0 Ъп
Неравенство (132) доказывает, таким образом, следующую теорему. Теорема
Ляпунова (третья). Если потенциал двойного слоя, распределенного по
поверхности Ляпунова с непрерывным напряжением р, имеет определенную
нормальную производную с одной стороны поверхности (т.е. внутреннюю или
внешнюю), то он необходимо имеет определенную же нормальную производную и
с другой ее стороны (т.е. соответственно, внешнюю или внутреннюю) и обе
эти производные равны между собой.
41. Допустим теперь, что непрерывная функция р удовлетворяет еще при
всех значениях p<Dt <D следующему условию:
| У (p-p°)d<o| < Ар"*1, (134)
о
где X и 0 < 1 суть положительные числа, не зависящие ни от р, ни от
положения точки ро на поверхности (5). В таком случае
2 л R (р2 -2Z2)p
' dw f 71 TiTT 0i-*°)dp
о 0 (p2 + Z2)5'2
R p^2
< 2Х/ ¦ r-v;,';, dP<
о
(p2 + z2)3'2
R a , 2X a
< 2A / p^1 </p =-------- R". (135)
о 0
Будем теперь подразумевать под т] максимум I р - р° | на площадке (о). В
таком случае неравенство (131) будет справедливым прй всяком данном R и,
совершенно так же, как в п. 40, мы докажем неравенство
2 я R pQ
/ <*"¦/ , г . 2.V2 (p~P°)dp
О о . (р + Z ) 12
<4яр(А +BR).
При помощи этого неравенства и (135) выводим из (127) следующее:
2Х
IS2(z, 0)-П(2, R)\ < - Re + 4ят?04 + BR), (136)
имеющее место при всяком достаточно малом (см. п. 19) положительном R.
42. Рассмотрим теперь интеграл того же вида, что и в формуле (116), но
распространенный на пояс, высекаемый из поверхности (S) двумя цилиндрами
вращения радиусов R и Rt < R и с общей осью, направленной по
265
нормали и к поверхности (5) в точке р0. При принятых в п. 36 обозначениях
он представится в виде S2(z, R,) - Sl(z, R). Заменив в (127) R через R i
и вычтя из (127) полученный результат, будем иметь
271 Я (р2 -2z2)p
12(г,Л1)-12(г,Л)= / du f -2 (д-Д°)с/р +
О R , (р + Z2)5'2
2* Л pQ + f f -2---ТШ О2 - Р )dp,
О Я, (р2 + Z )
откуда, полагая z = 0, выводим
12(0, /г,) - що,л) =
2 зт Л dp 2тт R "Оо
= / с/со / (р-р0) - + / с/со / (р-р0) - dp, (137)
О я, р О R, р
где 0о = (25/2 0с, + #i) р4 есть значение 0 при z = 0. При помощи этого
выражения 0о и неравенства (131) получаем
271 R "00
f du f (р-р°) - о я, р
а приняв во внимание условие (134), заключаем, что
< A j Ri},
271 я dp
f du f (p-p°) --
X в
<- Re. P
Последние два неравенства и формула (137) приводят к неравенству 112(0,-
12(0,/?) | <(138)
Отсюда следует, что 12(0, R) при сделанном условии (134) относительно
функции р стремится к определенному пределу при R -*¦ 0.
Обозначим этот предел через L0*)- Так как неравенство (138) справедливо
при всяком R | < R, то, полагая в нем R, = 0, получаем
\Q.(0,R)-Lo\ < уЛ^+Л.Лт?. (139)
43. Напишем теперь разность П(г, 0) - L0 в виде
fi(z, 0) -L0 = [12(z, 0) - П(z, /?)] + [12(0, Л) -L0] + [12(z, R) - 12(0,
/?)]. Отсюда при помощи (136) и (139) выводим
I J2(z, 0) - L0 I < ~ Л* +
+ r}(AlR+4nA + 4яЯ/?) + 112(z, R) - 12(0, /?) I. (140)
Очевидно, что каково бы ни было R, не равное нулю, разность П(г, R) - -
12(0,/?) всегда стремится к нулю одновременно с z, будет ли при этом z
оставаться положительным или отрицательным.
*) Под значением интеграла, стоящего в правой части равенства (116) при Р
= р", т.е. под Г2(0,0) (см. п. 36), понимается этот предел L ". (Прим.
ред.)
266
Выберем теперь R так, чтобы было -j- Re + т? [{А, + 4 пВ) R + 4 пА ] < -
j-,
где е - наперед заданное положительное число, что всегда возможно, ибо
при R = 0 разность д - д°, а следовательно и т?, также обращается в нуль.
Выбрав указанным способом R, выбираем затем не зависящее от R число z
столь малым, чтобы было
112(г,Л)- 12(0,Л) | < е/2,
что в силу вышесказанного всегда возможно. При этом неравенство (140)
обратится в следующее:
112(z, 0) - L0 | < е, откуда следует, что
lim 12(z, 0) = L0, z - О
т.е. 12(z, 0) стремится к определенному пределу А0 независимо от того,
