Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
где А есть конечная постоянная, не зависящая от положения точки р0 на
поверхности (5).
Это неравенство и (66) приводит к следующему:
|r, cos -r" COS ф0 I A5
rl Rl (71)
для всякой точки p (?, rj, f), лежащей вне площадки (оь) на части (50)
по-
*) Достаточно считать, что точка р, лежит на площадке (о0). Тогда 6 < 2R
" < Д/4 < < D < 1 /а и справедливы оценки п. 18. {Прим. ред.)
247
верхности (S), ибо для всякой такой точки
r0>R0. (72)
23. Найдем теперь высший предел модуля выражения
К -i)-
, . . Оо-r,)(r2, +r,r0 +rl)
Г| cos 0, I - 7 I= cos ф, ---з --------------------------- (71,)
гхг0
для точек р, лежащих вне площадки (о") • Имеем
Л +г 1 г0 + rj _ l_ +_]_ + 1
r\ d ri ri Г, Го г\
Точку pi всегда можно выбрать столь близкой кр0, что будет 5/Л<у < 1/2.
Тогда, в силу (72),г, >/¦<,-5 >Л0/2 Для всех точекр (?, д, J) чабти (S0),
т.е. 1/г, < 2[R0, 1 /г\ <4/Rq. При этом подучим
H + r,r0+rg_ 1 _1_
Л d d d rt го r] Ri'
Заметив, наконец, что | г, - г0 К 5 , получаем окончательно
г,с"*,(тг4)Н^8- <73'
Представив выражение, стоящее в скобках под интегралом (63), в виде'
cos ф| cos $<> , /1 l\ Гх COS фх ~т0 COS ^0 ч
_"-
выводим из него при помощи (71) и (73) неравенство
COS ф 1 COS Фо
г2 г2
г 1 г о
А + 1
< -- 5 и затем из (63) Ri
I ДоКШо-тг ". (74>
R,Ь
где В = (А + 7) S0 < {А + 7) S, a S0 и S обозначают величины поверхностей
(S0) и (S).
24. Рассмотрим, наконец разность А - А0, где
Д = /д
(cos COS ,
7]--Г-
a */s ' обозначает поверхностный элемент той части поверхности (5),
которая остается за выключением из нее площадки (о), вырезанной цилиндром
вращения с радиусом R и с осью, направленной по нормали л к (S) в точке
Ро •
248
Предположим, что
R<R0,
(75)
и обозначим через (51) пояс поверхности (S), ограниченный контурами
площадок (о) и (о0), через ds{ - поверхностный элемент этого пояса. По-
(со%ф{ cos фЛ
-5---------------------------------Ifibi, где интегрирование распростра-
х П rl /
няется на все точки p(5,r?,f) пояса (Si). Пользуясь введенными раньше
цилиндрическими координатами р иц можем писать
2я R0 (
Д- До =/ do} / р[ о * \
COS Ф 1 cos ф0
Го
\ pdp } cos д
(75.)
Имеем
1 _ 1 ^ Г°~Г| (1 , 1 , 1 \ г] rl г0 г, VH r0rt rl J
Всегда можно положить 5 <R /2, причем неравенство (721) будет само собой
удовлетворено в силу (75). Тогда для всех точек пояса (S,)
1г0-г, |<5, r0>p>R, г i>r0 - 5>р - 5 > р/2 >0.
Следовательно,
1
1
d
35
г, р (р - 5)
12
Г\Рг
Г1 cos ф
Л 1 N
lU rl)
12
<7,.
(76)
Так как, очевидно, аналогично неравенству (71) для всех точек пояса (S,)
справедливо неравенство
I г 1 cosiPi - г0 cos Фо 11 rl < А8 /р3,
то, приняв в расчет неравенство (76) и равенство (731), получаем cos ф 1
cos ф0
Л
Го
5 С5 <(12+Л) -= -, Р Р
где С есть конечное положительное число.
25. При помощи неравенств (77) и (54i) получаем
|я0 /cos ф{ cos фо \ р dp
I я 11 \ г\ Го / cos I?
R 0 dp 2Сц0 <2Cp0Sf -1~ 5.
R р R
(77)
(78)
249
Поэтому (см. равенство (75,))
4иСр0
|Д0-Д|<--д. (79)
А
Будем считать, что выбранное в п.22 число R0 < 1/2, и возьмем
произвольную точку pi на поверхности (5) такую, что расстояние 6 между
точками Pi нр0 подчинено условию
5 <R20. (80)
Положим
R=y/8'. (81)
В силу (80) так выбранное число R удовлетворяет неравенству (75) и
соблюдено принятое нами условие 8<R/2 (ибо Л2 <ЛЛ0 <Л/2). При этом
неравенство (79) приведется к виду
|Д-Д01<До КВ*2,
где К есть определенная постоянная, не зависящая ни от положения точки Ро
на поверхности (S), ни от 5.
26. Это последнее неравенство и (74) дают, при помощи (62) и (80),
|Д!<|Д-До1 + 1До1<Аю(-^+А:)б1/2 =Л^б1/2, (82)
гдeN=K + B/Rl есть определенное число, одинаковое для всех точек
поверхности (5).
При сделанном выборе R (равенство (81)) из (56,) и (61) получаем 1-/?| +
|/(i'l ^40тгДдо51/2 и при помощи (82) и (57) приходим к неравенству
\J' -У°|<Сдо51/2, (83)
где Q есть, очевидно, определенное число, не зависящее ни от д0> ни от 6,
ни от положения точки р0 на поверхности (5).
Это неравенство доказывает следующую теорему.
Теорема Ляпунова (первая). Для всякой поверхности (S) Ляпунова
нормальная производная ^ от потенциала масс, распределенных по
поверхности (S) с плотностью р,удовлетворяет условию
КЭг
ЭК
Эл
<Q(Xо",/2 *), (83,)
г^е(1л)| U 5л пРе^ставляют значения этих производных в двух смехсных
точках (S), находящихся на расстоянии 8, и есть, следовательно,
непрерывная функция точек рассматриваемой поверхности при одном уело-
*) Справедливость неравенства (83,) для точек поверхности ф), находящихся
на расстоянии 6 > Я J, очевидна. (Прим. ред.)
вии, что плотность ц притягивающих масс есть ограниченная функция
координат *).
27. Переходим теперь к исследованию свойств внутренней и внешней bV bV
нормальных производных -' и -е от потенциала простого слоя V.
ап Эи
Возьмем точку Р Еяутри поверхности (5) на нормали к ней в точке Ро и
величину выражения (см. п. 7)
ЭИ ЭИ ЭИ
- cos а + - cos f}+ - cos у дх Эу дг
I эк\
в точке Р обозначим через ( - I . Рассмотрим разность
