Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
\
do < rjf -
г3 I "т3
и, на основании (97) и (98,),
\Q'\ = e
f """I do
<tv,
(99)
где т = 2я + B0 есть определенное число, а т? - положительное число,
стремящееся к нулю одновременно с R.
Из равенств (93), (97) и последнего выводим Я, =-2яд° -eQn°-Q'. Заметив,
что/2 -К 2 = Н -Н\ (см. (892)), получаем
/2 -К 2 = 21гц° + Я + eQn° +Q' = 2пц° +Q[, (100)
где, в силу (92), (98) и (99),
\Q'i\<Aii0d3t+еВщ>+т (101)
(ЪУ\
Так как, далее, I-j -J = 1\ -К , +/2 -К2, то на основании (100) \Ъп /р
(-) -J - 2пц° =/, -К 1 + Q'i. Отсюда, приняв в расчет(891)и(101) ,вы-
\ Э nip
водим
I j -7 - 2п(1° J < ^- +Bno'je+AUoea +тт?. (101i)
Мы всегда можем выбрать сначала R столь малым, что тт) сделается меньшим
наперед заданного положительного числа е'12. Выбрав указанным способом R,
мы можем затем взять точку Р столь близко к точке
fn0N' \
Ро поверхности (S), что выражение I-- - + Вц0 J е+Ац0^ также сделается
меньшим числа е'12. При этом будем иметь (bV\
uJr' ^ <е (102)
Из этого неравенства вытекает следующая формула Пуассона:
= У + 2яр°, (103)
дУ'______________о
Ъп
Ъ V ficos ф
где, напоминаем, У = = - / --- ds.
Ъп г2
Точно так же, взяв точку Р' на нормали п с внешней стороны поверхности
(S) и повторив с соответствующими изменениями предыдущие рассуждения,
получим
We
-L=J-2nM°. (104)
Ъп
255
Из (103) и (104) вытекает и следующее равенство:
ЭИ, ЪУе
Ъп
Ъп
= 4яд .
(105)
Таким образом, справедливость формул Пуассона доказана для всякой
поверхности (S) Ляпунова, коль скоро плотность потенциала V простого слоя
есть непрерывная функция координат точек этой поверхности.
32. Предположим теперь, что функция р не только непрерывна, но еще
удовлетворяет условию
|д-д°| <M-g, (105,)
где N есть число, не зависящее от положения точек р и ро на поверхности
(S), 0 - такое же число и притом меньшее единицы.
При этом, в силу (94,) и (54,),
IG'I
-И
-?
з
Лг </Ve / - do
<Мгр/2 е/ -Лг<
<2М"*А е/
dpdco.
Из (95,), как и в п. 30, будем иметь
/ - dpdio=(1 +у'е) / -т;еу/2 dP*<* +
I Р** R PdP , R а
+* f; 17 2^2 №ь><2п(1+еС") f з^ + 2яС'/ p*dp =
(P +e ) о о
(p +e ) 2
2я(1 + eC") Г 1 1 1 2rC'
--hr ш J + - *
(R2+e2)2 1+<*
1-Н" <
^ 2я(1 + eC") 2nC'
^ 6 + R
1-0 1+0
Следовательно,
?'| <2M№ Г -i-+eC ). e<4 Л14<,е]<М,, e*
L 1-0 1+0 J
естьопределе
IG'I
где Lt есть определенное число. Отсюда, как и в п. 31, получаем
2яд =
/, -А', + Л+ ед°(? + 0' <
/ИоЛ^ \
¦ ( ~~^4 + До В 1 е + Лдоеа +м,,ер.
256
Выбрав определенным образом R, получим, что
| -У-2**1° < NLt +д0^з] ep=Lep, (106)
ибо а есть произвольное число, меньшее единицы (п. 28); под L, очевидно,
можем подразумевать определенное конечное число, одинаковое для всех
точек поверхности (S).
Подобным же образом докажем и другое неравенство Ляпунова
(-) -
\Эл /"<
<Le*, (107)
-J + 2пр
' р'
где Р1 есть точка, лежащая на нормали л к поверхности (5) с ее внешней
стороны и достаточно близкая к точке р0.
Неравенства (106) и (107), справедливые для всякой поверхности Ляпунова,
коль скоро плотность р простого слоя V удовлетворяет неравенству (105]),
весьма валены для наших дальнейших исследований*). Так как число L не
зависит от положения точки р0 на поверхности
/ ЭК \ / ЭК \
(S), то из неравенств (106) и (107) заключаем, что ( - j и I ------- I
\ Эл /Р \ Эл } р'
ЭК, ЭКе
стремятся к своим пределам и ----------- равномерно для всех точек
Ъп Ъп
поверхности; иначе говоря,потенциал простого слоя V при указанных выше
условиях имеет правильные нормальные производные {внутреннюю и внешнюю)
на поверхности (5).
Резюмируя все сказанное, приходим к следующей теореме.
Теорема Ляпунова (вторая). Потенциал простого слоя
р
К = / -ds, г
плотность которого р подчинена условию (105j), удовлетворяет для всякой
поверхности Ляпунова неравенствам (106) и (107) и, следовательно,
имеет правильные нормальные производные {внутреннюю и внешнюю) ЭК, ЭКе
и -- , удовлетворяющие уравнениям Пуассона
Ъп Ъп
ЭК, ЭК
- +2яд°, (108)
Ъп Ъп
ЪУе ЭК
1ПТ-**- (109>
где р° - плотность в той точке поверхности {S), к которой относятся про-
ЪУ, ЪУе ЪУ изводные -, -- и -
Ъп Ъп Ъп
* ) В доказательства неравенств (106) и (107) внесены изменения. (Прим.
ред.).
257
33. Потенциалом двойного слоя называется функция координат х, у, z,
определяемая поверхностным интегралом вида
(110)
распространенным по переменным %, г), f на всю данную поверхность (S)*).
Функция ju называется напряжением двойного слоя; мы будем предполагать д
непрерывной функцией точек поверхности (S).
В трактатах по теории притяжения строго доказываются следующие теоремы.
Теорема VIII. Функция W непрерывна со своими частными производными по
координатам х, у, z во всех точках пространства внутри и вне поверхности
(S) и представляет собой гармоническую функцию как внутри, так и вне этой
поверхности. Эта функция сохраняет определенные значения для всех точек
поверхности (S), равно как и определенные значения предельных выражений
W, и We,uo при переходе точки х, у, z через любую точку Ро поверхности
