Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
между точками ро и р. Обозначим интеграл (56) для простоты через J,
значение его для точек ро и р, - соответственно через У0 и У* . Части
интеграла У°, распространенные на поверхности (о) и (5'), обозначим
соответст-венно через У "и У?, а через Jo и J's - соответствующие части
интеграла J'. При сделанных обозначениях можем писать У' =Уо+ J's, У°=Уо+
У5°,откуда
у'_у° =уо'_уо + (У;_уО) "
|У'-У° |<|У^| + |У(r) 1+1Д1, (57)
где положено
А-У,'-У?. (58)
Очевидно (см. предыдущий пункт), д cos ф д t
JS=- f!Lr-Ido = f da.
Го rl
Поэтому, в силу (55)
\J% К8тгд0 bR. (56,)
21. Обозначим теперь через ф{ угол, составляемый направлением, идущим
от переменной точки р к точке р, с внешней нормалью л, к поверхности
*) Неравенство (83,) п.26: изложение доказательства этого неравенства
несколько изменено. (Прим. ред.)
(5) в точке pi, через ri - расстояние точки р от точки pi. Можем писать
, и COS ф1
Jo = ~! ----:- do. (59)
r\
Построим цилиндр вращения, осью которого служит нормаль пх к (5) в точке
pi, а радиус равен/?! и обозначим через (oi) площадку, вырезанную этим
цилиндром на поверхности(5) *). Проекция контура, ограничивающего
площадку (о), на плоскость, касательную к (S) в точке р0, есть круг
радиуса R с центром в точке р0; проекция контура, ограничивающего
площадку (Oi), на плоскость, касательную к (5) в pt, есть круг
радиуса/?!. Положим
/?i = 4/?. (60)
При этом, очевидно, вся площадка (а) будет целиком лежать внутри площадки
(oi) **) и будет иметь место неравенство
I COS ф 1 | | COS ф 1 |
/ ------------ do < f --- dol,
т\ т\ где через dox обозначен поверхностный элемент площадки (ot), на
которую распространяется второй интеграл. Так как
, I cos фх |
\J<j I < Mo /----1- do,
Л
то, в силу предыдущего неравенства,
. |cos фх | .
\Jo I < f -3----------- do 1.
м
Применив к этому интегралу дословно рассуждения п. 19, убеждаемся при
помощи (60), что
I COS Фх |
/-----:----- do 1 <8я6/?1 =32 irbR,
Л
т.е.
I J'a | < 32 npobR. (61)
22. Рассмотрим теперь выражение А (58). Дадим R некоторое определенное
значение /?0 ***)и обозначим через А0 соответствующее значение А.
Величину А при всяком другомR можем изобразить так:
Д = (Д-Д0) + До- (62)
*) Какие п.l^, (о,)- часть поверхности (S), лежащая в пересечении
цилиндра вращения радиуса R, < D / 2 с шаром радиуса D с центром в точке
р,. (Прим. ред.)
**) Площадка (о) лежит (см. п. 18) в шаре радиуса 2R с центром в точке
р0, а этот шар содержится в шаре радиуса Л, = 4Д < D/2 с центром в точке
р, 6 (о), а следовательно, и в пересечении шара радиуса D с центром в
точке р, и построенного в этом пункте цилиндра радиуса R,. (Прим. ред.)
***) Конечно, такое,при котором неравенства (56,) и (61) удовлетворяются.
245
Цилиндр вращения радиуса R0 вырежет на йоверхности (S) площадку (о0);
оставшуюся часть поверхности (5) обозначим через (50), а поверхностный
элемент этой части - через ds0. При этом можем писать
(COS фх cos ф0 \
Здесь интегрирование распространяется на всю часть (50) поверхности (S),a
Фх, Фо,Гх,г0 представляют значения фиг для точек р, и р0.
За плоскость ? tj по-прежнему принимаем плоскость, касательную к (S) в'
точке р0 , за ось f - направление л в точке р0, за начало координат -
точку Ро- Координаты точки рг обозначим через ?i, tji, f,, координаты
переменной точки р, лежащей вне площадки (о0) - через ?, tj, f; при
этомг0 =рр0, fi - РР\, Фо есть угол, составляемый направлением рро с
направлением л,а ф х - угол, составляемый направлением рр х с
направлением л t внешней нормали к (S) в точке Pi. Имеем
ЭГг
cos(/ii?) = - cos i>,
COS (л 1 Tj) "= COS I?, COS (л 1 f) = COS I?, (64)
Эту,
1
COS I? =
VTW77W
v>s, I VW
Далее,
cos фх = cos (Г|, Л1) = cos (r,?) cos (nx?) +
+ COS (ri Tj) COS (л 1 Tj) + COS (rI f) COS (л 1 f). (65)
Заметив, что - cos (r, ?) = (? - ?,) /г,, - cos (г,tj) = (tj - tj, ) jr\,
- cos (г, f) = (f - fi) /г,, и приняв в расчет (64), выводим из (65)
Г afi эм
-Гх cos = Фх = K-fi ~(f-Si) г- -(U-TJi)- I cost?.
L 3tj,j
Легко убедиться, далее, что r0 cos Фо = - {¦ Это равенство и (65)
приводят к следующему:
Г Э?! +
Гх cos фх -г0 cos ф0= + fi cos t? + !(?-?,) g-jr-
- COS 1?
aijiJ
+ (*? - Vi) "- I cos 0 + f(l - cos i>).
Отсюда
I Гх COS Фх - r0 со$ф0 I < I fl II - COSt? I +|f, i + | H I, (66)
244
3f, 3f,
где положено // = (?_?,) - + 0?-*?i)- • Но по лемме Коши
Э$1 Эту,
Предполагая точку р, достаточно близкой к р0 * ), замечаем на основании
(52,),что
4
С другой стороны, так как размеры поверхности (S) предполагаются
конечными, то
V(S-$,)2 +(17-I?.)2* =р. <L, (67)
где L есть конечное число. Поэтому
\H\<aL\/3b. (68)
Далее, в силу (50,),
I I -cos "9 |<-а262 <а6/2 (69)
2
и, в силу (54),
Ь
If, \<Ър\ <Ь62 <-6. (70)
а
Замети, наконец, что наряду с неравенством (67) всегда можно считать, что
| f | < L, получаем, приняв в расчет (69) и (70),
/Ь aL\
I f 1 I + I f (1 - cos tf)| <1 - + -15 и, на основании (68),
If (I -cosd)| + |f, | + |Я|<^+ La{^ + х/зЭДб=/16,
