Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, соответствующий член в —Я" равен-^/и3я2 j-cos?.
8г>2 = —+ /»2)-^-s,n5H--^w2-^-s,n3$. (4)
24 V, Смарт
370
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
где
§ 17.20. Уравнение для широты
1. Уравнение, определяющее широту, дано в § 17.03 формулой (3).
Пренебрегая величинами s3, ех и а/а,, будем иметь
d2("> + »2(7)3"=^F + 74?’ W
/? = ж2я2г2[-1 — — i2) cos 2 (v — «,)].
Легко видеть, что правая часть уравнения (1) равна —m2n2rs. Так как
rs
то уравнение (1) запишется в виде
02г = я2(? + ж2)д = 0. (2)
Далее,
а а , «
7 = т+«о,
и если пренебречь величиной е, то р = а. Мы тогда найдем, что уравнение
(2) с точностью до малых четвертого порядка включительно имеет вид
?>2д + я2[1+38«+3(8«)2]а: = 0. (3)
Если е = 0, то с точностью до малых порядка ж3 включительно выражение для
Ьи легко получить. В этом параграфе мы используем выражение для Ьи с
точностью до малых порядка ж4 включительно. Оно имеет вид
Ьи =~m2— -ggl ж4 + ^ж2+-^-ж3+-^-ж4^соз2?-(--^ж4 cos 4?,
0ТКУДЯ /19 1 1 \
(8и)2 = ж4 -(- -g- cos 2$ -|- -jgcos J •
Таким образом, уравнение (3) примет вид
D2z + я2 (1 + Лж2+Вт2 cos 2? + Сж4 cos 4?) z = 0, (4)
$ 17.20. Уравнение для широгы
371
В § 17.06 мы видели, что в первом приближении
? = TfSin7i.
где — — 2 и g = 1 + 3/4m2. Допустим, что г выражается
формулой
? = b [sin tj—sin (25 — 7j)-|-Qsin(2?-|-7j)-|-/?sln(4$ — tj)], (6)
где в первом приближении Ь — ^.
Мы будем искать Р, Q и R с точностью до малых порядка т3 включительно.
Если бы мы ввели дополнительный членбЗ - sin(4;-{-Tj), то нашли бы, что
<S является малой величиной порядка т4. Заметим, что (4) — частный случай
уравнения Матье
— + л2 dt2 ^
1 + S А! C0S 2Jt
г = 0, (7)
решение которого имеет вид
00
z= ^Brcos(gni-\-2rt-\-a), (8)
— 00
причем BQ и а — постоянные интегрирования, a g — величина, которая
выражается через коэффициенты А. Это замечание относится также и к
величинам Вг (г ф 0). С аналогичным уравнением мы встретимся в § 18.30.
Подставим выражение (6) в уравнение (4) и приравняем в левой и правой
частях полученного равенства коэффициенты при sin tj, sin (2; — 7j), ...;
в результате получим
1 — g'+Am1 — ^BPml-\-~BQm,l = Q, (9)
Р [ 1 + Ат2 — (2 — 2т — gf\ — ? Вт* + ? BRm2 = 0, (10)
Q[ 1 —f- Ат2 — (2 — 2т — ?)2Ц-? Вт2— 0, (11)
R [1 + Ат* — (4 — 4/и — gf] + ? ВРт? — ?Cm4 = 0. (12)
Из этих четырех уравнений мы методом последовательных приближений
определим величины g. Р, Q и R. Вспомним, что А, В и С, определяемые
формулами (5), имеют нулевой порядок. Очевидно, что Р, Q и R по меньшей
мере являются малыми порядка т.
24*
372
Глава 17. Теория Луны Понтекуланй
Первое приближение. Из уравнения (9) находим
3^
2
?2 = 1 + Am2 — 1 /и2
Далее, мы получаем
g= l + |m2.
Я — 8 m, Q — 16 т2, R— 128 т3.
Второе приближение. Опуская все выкладки, мы просто приводим
окончательные результаты:
„ 3 . 41 , . 5389
7 =8m+-32m +Wm •
Л 3 « , 7 , . 989 4
Q = T6m +8т + ш т *
128 т3'
Найдем теперь g с точностью до малых порядка /и4 включительно. Если бы
к правой части равенства (6) мы прибавили член
bS sin (4? + ч}). то получили бы
, , 3 , 9 , 273 d /юч
8 — 1 “Ь 4 т 32 ^ 128 ^ ’ О®)
2. Найдем теперь соответствующее выражение для s. Если пренебречь
величиной s3, то z — rs. С точностью до малых порядка т2Ь
s=H=^[1+?m2+m2cos:4
Поэтому, принимая во внимание равенство (6), мы получаем 5 = (l -|-^-
m2)ftsin T} + (-|-/n + -||-/n2)?sin(2; —'»})-|--^-.]l.m2*sln(2;^-^I).
(14)
3. Так как s = tgO, где 0 — широта Луны, то при помощи хорошо известного
ряда мы можем записать
6 = s — ...
или, с точностью до малых порядка Ь3,
0=5 — Ь3 Sin3 7].
§ 17,21. Общие замечания
3?3
Используя формулу (14), получаем
0 = (1 — + + — т]) +
+ sin (25 + ii)+ ^^8^311. (15)
Как и в случае коэффициента при sin ср в долготе, удобно и желательно,
чтобы коэффициенты при sin ^ как в невозмущенном, так и в возмущенном
движении были одними и теми же. Поэтому мы положим
откуда с точностью до членов третьего порядка находим
* = т(1 —'g-m2 + 7^2)- <lfi)
При помощи формулы (16) коэффициенты в равенствах (6) и (14) могут быть
выражены через
Формула (15) для 0 тогда примет вид
0 = у sin ?>) + (!• 'И + Ц'»2) Т sin (2; — 7)) +
+ -ji-m27Sin(2; + 7!) + -jjf3sln31)). (17)
Этот прием, как и в случае долготы, отличается от метода, развитого
Понтекуланом.
§ 17.21. Общие замечания
Мы рассматриваем е, ev *f как величины того же порядка, что и величина т,
а а/а, как малую порядка /к2. Окончательное буквенное выражение для
радиуса-вектора (или, вернее, для а/r), выведенное Понтекуланом, дается с
точностью до малых порядка т5 включительно, выражение для долготы в общем
случае — до малых порядка /к6, а некоторые важнейшие члены—до малых
порядка т7 или даже /к8; наконец, выражение для широты—до малых порядка
тв включительно.
Чтобы предотвратить путаницу, мы будем считать, что постоянные
Понтекулана е и ?[ обозначаются через е0 и *f0. Его коэффициент при sin
ср в окончательном решении является рядом по степеням т, ео> То- ei и
