Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
3e0(l+le2)-f2eie2-im2 = 0. (7)
Это последнее, восьмое, уравнение, которое нам требовалось вывести.
$ 17.15. Вычисление восьми постоянных
363
§ 17.16. Вычисление восьми постоянных
Мы имеем пять уравнений (2) § 17.13, два уравнения (12) и (13) § 17.13 а
и уравнение (7) § 17.14. В первой группе из пяти уравнений мы упростим
некоторые из коэффициентов, используя тот факт, что с = 1 + малые порядка
т2 и пренебрегая высшими степенями т. Тогда эти восемь уравнений примут
вид
«о 4-«2+ 86 = 0; (1)
Зац^+^О — с2)— 2т2 — (с2 — 1) = 0; (2)
—3a2(l _AOT+±OT2) + 3/»2(l+|) +
+ 4(1 — 2т) (-j a3 — 3a2j ег = 0; (3)
4m ^ 1 — Y-mJa3 — 9т2 (1 + т) + (1 — 4 т) (a2 — 2а3е2) = 0; (4)
а4 (1 — 4т2) + т2 + 6 т2а3 = 0; (5)
8А + 2а0+ 0^2 = 0; (6)
2bh + 2al-\-ale2^-2a0 — 2(с — 1) = 0; (7)
Зв0(1 + ^в»)+2в,в»-^»* = О. (8)
Исключив bh из уравнений (6) и (7), получим
2я0 — л, (2 — в2) + 2 (с — 1) = 0. (9)
Эти уравнения решаются методом последовательных приближений. Принимая во
внимание то обстоятельство, что с = 1 + члены порядка т2, мы из уравнения
(9) получаем, что а0 и aх являются малыми по крайней мере порядка т2.
Поэтому из уравнения (8) с точностью до третьего порядка включительно
находим, что
а0 = -g- т2.
Из уравнения (9), пренебрегая членом ахе2, будем иметь
<*! = «<) +(с — О* (Ю)
Если в уравнении (2) пренебречь членом ах (1—с2), то это уравнение может
быть записано в виде
^ тЪ (С2 _ 1) _ | — (С2 _ J) = о.
откуда с точностью до малых порядка т2 имеем
с2 = 1 —g- т2
364
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
ИЛИ
С=1 —1 ш2, (П)
а это совпадает с ранее полученным результатом. Из уравнения (10) с
точностью до малых порядка от3 получаем
а из уравнения (6) —
8А = — /и2.
Легко находятся также первые приближения для коэффициентов ап, а3, аА.
Полная сводка формул первого приближения такова:
17 15
а0 == g- от2, Cj = —jTj- от2. а2 — от2, а3 = -g- /в2.
а4= —^ от2, с — 1 — от2, 8А = — у от2, 8А = — g- от2.
Второе приближение для а2 легко находится из уравнения (3) при помощи
обычного приема. В результате получим
а2 = от2 -|- от3 + -j- отв2.
Аналогично
15 . 329 о
<*3 = -д- ОТ + -р- ОТ2.
Все остальные величины также могут быть определены с требуемой точностью.
После этого могут быть вычислены величины А^, А3, Аг которые входят в
формулы (9) § 17.13а. Затем легко вычисляются коэффициенты тех членов в
выражении (10) § 17.09 для возмущений 8© в долготе, аргументы которых
равны 2?, 2$ — ср и 2$ — 2<р.
§ 17.16. Формулы для радиуса-вектора и долготы
Мы имеем
— = — + 8и, v = w-\-bv,
где а/р и w выражаются по формулам эллиптического движения, в которых
средняя аномалия М заменена величиной ср. Эти выражения даются до малых
третьего порядка, за исключением членов с аргументами 2?—2<р, А<р (А = 1,
2, 3, 4), которые по указанным
§ 17.17. Члены, зависящие от е{
365
выше причинам даны с точностью до малых четвертого порядка. Мы также
прибавим члены с аргументом 2? —(— <ю, которые ради простоты были
опущены. В результате будем иметь
7=1 + -Jn»2 + *(l — 7«2 — -j^m2)cosc? +
+ («2+ -7- m3+-j- me2J cos 2? + em mj cos (2? — ?) +
+ -yg- em2 cos (2- + cp) — e2m2 cos (2; — 2<p) -f-
-|-e2(l —у e2jcos2<p + ^-e3cos3'f+ e4cos4'f; (1)
v = nt-\-s-\-2e{\ — -i-e2jsin«p + (-^-m2 + -^-m3+
+ tI e7m)sin 25 em (x + Ж m)sin <2’ — ^ +
+ ~ em2 sin (2; -f <p) + Ц e2m sin (2- — 2<p) +
+ 7(1 — «2)«2sin2'? + -j|-e3sin3'.p + -^jr-e4sin (2)
§ 17.17. Члены, зависящие от ex
1) Согласно формуле (3) § 17.10, уравнение для Ьи имеет вид Z)2(8«)-f
п28и + -^-— Р"-\-п2ЬЬ — п2(с2— 1)(у — l) = 0, (1)
где с точностью до членов третьего порядка Q — 4/?2 + Qo- Мы рассмотрим
только члены, зависящие от первой степени ех. Из формулы (7) § 17.12
имеем
з
Q0 = — ^ m2n2a2ex cos «р^
Кроме того, Rz выражается формулой (18) § 7.06, если заменить в ней М на
<р и Мх на ср^ Обозначим через 8«j ту часть Ьи, которая зависит только от
ех. Тогда
D2 фих) п2 (Ьих) = — m2n2ex ^ cos <рг +
+ ?— cos (2; — 9,) — J cos (2? + <Pl)] •
Далее, yx = nxt-\-sx — &x = mnt-\- .... Поэтому частное решение
предыдущего уравнения запишется в виде
_ 3 rrv-m 21 cos (2S — 9i) 1 3 m2ei cos (2S + y.)
®Ml— — 2 T^mT 2 1 — (2 — 3/k)s h 2 1— (2
— m)»
ж
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
или, если ограничиться членами третьего порядка, то
8«, = — tn2ex cos 9, +• у «2«i cos (2; — <р,) — j m2ex cos (25 -J- 9,).
(2)
2) Если to,— возмущение в долготе, зависящее от ех, то уравнение для
полученное из уравнения (6) § 17.13а, будет
1 а * 1 /• <//?« -D(4)=274+^Jtt "• <3>
Так как /?? есть малая порядка m2ev то в первом члене правой части
уравнения (3) достаточно положить р — а, а во втором г = а. Далее,
— «2л2а2 ех sin (2? — tp,) — ех sin (25+9,)].
С точностью до малых порядка т2ех второй член в правой части уравнения
(3) будет иметь вид
m2*i [Т cos (2^ — ?1) ~ Т cos <р^] *
Сложим это выражение с 28и, и проинтегрируем. Тогда получим to, = — 3/ие,
sin 9, т2ех sin (25 — 9,) —т2ех sin (25-1-9,). (4)
§ 17.18. Члены, зависящие от а/а,
