Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
•>}' — на rx ~ gnt -f- ® — 2- Тогда с точностью до членов второго порядка
включительно будем иметь
w = /t/ + e + 2esin<p + -|-e2sin2<p —-j f2sin2T}. (4)
Члены третьего порядка в формулах (3) и (4) легко получаются из .формул
(7) § 7.06 и (11) § 7.07.
Кроме того, в невозмущенном движении с точностью до членов второго
порядка включительно имеем
j = f sin if + ef [sin (M + •>}'] + sin (M — (5)
Это не что иное, как формула (15) § 7.06, выраженная через rf.
Определим о с помощью равенства
а = f sin 7j + еу [sin (<р + ?}) + sin (<р — tj)], (6)
в котором г) = gnt-J-e — 2 и <р заменяет М.
Мы назовем р, w и а модифицированными переменными.
Ради симметрии в уравнениях для гх и vx мы напишем <pt вместо тогда
^71=1 +Je? — *icos —j ei cos 2<р,, (5)
vi = V + *i + 2eisin ?i +1 е\ sin 2?г (6)
Здесь <р1 = я1/ + е1—ш1 и, конечно, fi = 0.
В аргументах членов, содержащих <р и •»}, учитываются вековые части
движения перигея и узла. Следовательно, р, w и а могут рассматриваться
как приближения к г, v и s в возмущенном движении. Положим
r = p + 8r, v — w-\-bv, s = o-|-8s, (7)
где 8r, bv и 8s — по меньшей мере члены второго порядка. Теперь можно
получить уравнения для переменных 8г, 8г> и 8s.
Как мы увидим далее, в уравнения движения будет входить функция R',
зависящая от модифицированных переменных. Она может быть названа
модифицированной возмущающей функцией. Фактически R' — это функция R,
когда в ней М заменено на <р и rt/+e — 2 —
на ri = gnt-\-s — 2. Вообще мы напишем
R'==R'(p, w, о) = R' (ср, tj).
Заметим, что, согласно равенствам (18) и (19) § 7.06, R'—также
функция от $. Следовательно, R' = R' (?, <р, tj).
§ 17.08. Метод решения уравнений движения
349
§ 17.08. Метод решения уравнений движения
Сначала мы будем пренебрегать наклонностью орбиты Луны к плоскости
эклиптики, т. е. будем считать, что 7 = s = z = 0. Обозначая d/dt через
D, запишем интересующие нас уравнения § 17.03 в виде
Id2*/-2) —-^ + «2a2 = Q(r, v) + n44b, (1)
Dv — -pr — S(r, v). (2)
\D2r-\-^~ — vl = T{r,v), (3)
где
T_\_dR ~ r dr
(4)
Здесь R(r, v) = R2-\-R3. Из равенств (5) § 7.06 и (6) § 7.06 мы в случае
^ = 0 получим
Я2 = тв2я2г2(tJ-)3[7 + j cos 2 (v — •»,)]. (5)
R3 = (—) г3 (т|-)4 [| cos (v—t»i)+1- cos 3 (v — v,)], (6)
причем R2— малая величина порядка /я2, а R3 — малая величина порядка тп4,
так как мы предполагаем, что ajal имеет второй порядок малости
относительно /я2.
На основании теоремы Эйлера мы можем написать следующие общие формулы:
ГЧГ = 2*2. r*^ = ZR3, г,^- = -ЗЯ2. (7)
лп
1 Аг.
Поэтому
аг,
rf- = 2/?2 + 3/?3. ^- = -7Г(3/?2+4Яз). (8)
Формулы (5) и (6) § 7.06 показывают, что в общем случае R есть функция от
v — v,. Это справедливо, в частности, для формул (5) и (6) настоящего
параграфа. Следовательно,
OR __ dR dv dvi '
Далее, как и в (17) § 7.06, имеем
v — Vj = S-|-2*sinAl — 2*jSin .Mj ... .
350
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Поэтому
dR dR dR d^R d*R
dv dVj d? ’ dr dv drdS и т- Д- ( )
Рассмотрим теперь интеграл, который входит в выражение для Q в первой из
формул (4). Имеем
dR _ d'R , dR : , dR j. dt dt ' drx dvi Vv
Поэтому, принимая во внимание формулы (8) и (9), получаем = Ж (*2+ Ла) +
(ЗЯ2+ 4/?з) ?l.+ М- ч
и
Q = 4/?2 + 5/?3+2 f (3R2 -(- 4/?3) Y~dt-\-4 f (10)
Аналогично
7’ = -^<2/?2+3/?з)- (И)
Для удобства мы запишем формулу (10) в виде
Q = 4/?2 + 5/?3 + Q0, (12)
где через Q0 обозначены два последних члена в этой формуле.
Теперь можно указать метод решения уравнений — это метод последовательных
приближений. Мы проиллюстрируем этот метод на примере решения уравнения
(1). Положим r = p + 8r, v = w-\-lv, где р — модифицированный радиус-
вектор и, как увидим позже, Ьг — малая величина порядка т2.
Найдем прежде всего разложение Q. Запишем Q в следующем виде:
Q = Q(p. w) + 8,Q + 8*Q. (13)
где
*.«-(?)*'+ (&)*»? <Н)
•Л “ т[(т?) (W+ 2 (-??) Sr 8»+ (^)«!]. (15)
причем (dQ/dr) и т. д. означают, что после дифференцирования г и v
заменены на р и w.
Согласно формуле (10), имеем
Q(p. «0 = 4Я; + 5^ + 2 /(3R'+4R')A-dt + 2f^-ildt, (16)
где /?', /?д выражаются формулами (18) и (19) § 7.06, если в них положить
”[ = 0, ri = gnt-1-5 — 2 и заменить М на (р. Таким обра-
§ 17.09. Уравнения, которым удовлетворяют р и w (у = 0)
351
зом, Q' = Q(p, гг») может быть найдено с любой требуемой степенью
точности.
Рассмотрим теперь величину (dQ/dr), входящую в равенство (14). Из формулы
(10) при помощи равенств (7) получаем
Поэтому (dQ/dr) получается из равенства (17) путем замены R2 и Я3 на R'r
R'r Аналогично
Таким образом, коэффициенты при or и 8г» в формуле (14) могут быть
найдены с любой требуемой степенью точности. Тем же самым путем мы
получим разложение функции o.2Q, определяемой равен* ством (15).
Например, из равенства (17) имеем
+ 2/тж(6й1+12йЭ^Л+г/7w(2Rl + 3/?3i“"' <19>
Уравнение (1) тогда превратится в дифференциальное уравнение относительно
8г и будет иметь вид
jD2[(p + 8r)2]--^^+ft2«2 = Q' + 81Q + 82Q + ... +п*аЧЬ.
Первое приближение для 8г получается, если пренебречь величиной (8г)2.
