Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
представляется более удобным определять [У] и (J) по формулам (15).
§ 18.08. Вычисление коэффициентов и
391
Из формул (5) § 18.05, очевидно, следует, что в,, ...
имеют более высокий порядок, чем а0(=1). Соответственно порядок
определяется первым членом в третьей строке формулы (1),
а именно тг[1]. Таким образом, ах является малой величиной порядка шг.
2) Положим в формуле (16) § 18.07 j = —1. Тогда
я_1 = [—1, l]flifl2-|- ... —J— m2[—1]—J— 2o0a_2 —J— ...] +
+ m»(-l)[e* + 2e1e_1+ ...]. (2)
Следовательно, a_ j является малой величиной порядка m2.
3) Положим у = 2. Тогда
а2 = [2, 1]a1a_i-f-(2, 3]в3в]-{- ... —J— [2, —l]a_jfl_3+ ... -f-Ч-m2[2]
[2a0flj-l-a2a-i ~Ь а-1я2~1“ - * • 1 ~I-+ m2(2)[fl0fl_3-(-fljfl_4-(- ...].
(3)
Если предположить, что абсолютное значение aj уменьшается
с увеличением |у|, то главная часть а2 будет выражаться формулой
а2 = [2, 1] fljfl_j-l-2m2[2] Aj. (4)
Таким образом, а2 есть малая величина порядка ш4.
4) Продолжая эти рассуждения дальше, мы увидим, что
аг есть малая величина порядка m!2rl.
5) С точностью до малых величин порядка т5 включительно из
формул (1) и (2) находим соответственно
в, = ш2[1], a_, = m2(— 1).
Согласно формуле (18) § 18.07,
...___3^ 6+ 12т + 9т2
^ 16 6 — 4т + т2
Разлагая это выражение в ряд по степеням ш. найдем
=т1гт2+?т3+т?т4+жт3, (5)
Аналогично
19 , 5 , 43 . 14 .
а-1— 16 т З" 36 27 &
Коэффициент а2, определенный формулой (4), можно теперь выразить через ш.
Аналогичным путем можно получить коэффициент а_2.
392
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
6) С точностью до малых порядка ш7 включительно, как это видно из
формулы (1), а, запишется так:
а, = [1, 2]а,а2+[1, — 1] с_,а_2 + ш2 [1] [1 +2а1а_,] + т2(1) а_2.
Если первые приближения для а,, а2, a_v а_2 подставить в правую часть
этого равенства, то можно найти я, с точностью до членов порядка т7
включительно.
.7) Изложенным здесь методом последовательных приближений можно легко
получить выражения коэффициентов с любой требуемой точностью. Хилл нашел
такие выражения с точностью до членов порядка т9 включительно и, принимая
для m значение
т = 0,080848933808312, (7)
вычислил соответствующие коэффициенты с 15 знаками после запятой.
Мы приведем выражения для всех коэффициентов с точностью до членов
порядка me включительно:
а, = Правая часть (5) — т6' а-\ — Правая часть (6) —
7381 _й
2Ю . 34 m ’
25 4 . 803 . . 6109 » 833 „
а*~ 256 m 1920 m 7200 m ’ °3— 3-212 m ’
23 j . 299 6 1 6
«—2 — 640 m 2400 m ’ а-з 192 m ’
§ 18.09. Постоянная а
Мы будем исходить из уравнения (7) § 18.05, в котором, поскольку мы
рассматриваем решение при z = 0, положим r2 = us:
^D2+2mD+-|-m2j«= = хи 2s 2.
Подставив в него ряды для « и s, получим 2 [(2/ + 1)2+2ш (2/ + 1) + i ш2]
я,С2<+>+ 4 т2 ^ в.С"2'"1 =
Это равенство представляет собой тождество, справедливое при всех
значениях С. Положим С=1. Тогда
F = (2 S [(2/+ 1)2+?m(J“+D + 3m2] а,}. (1)
§ 18.10. Вариация
393
Определим а с помощью формулы
р, = п2а3. (2)
Тогда, поскольку х = р/(я— я,)2, мы имеем
х = (1 + т)2аЗ. (3)
Следовательно, формулу (1) можно записать в виде
(•f)3 = (l+m)-2 (J [ (2/+ 1)2 + 2ш(2/+ 1) + Зт2] а,},
(4)
откуда, если подставить численное значение ш, можно найти отношение а/а.
Величину a/а можно также представить рядом по степеням ш. С точностью до
малых величин порядка ш3
а = а ^1—-i-m2+jm3j. (5)
Это равенство, или, вернее, его развитие до членов требуемого порядка,
дает нам возможность сравнить настоящую теорию с любой другой теорией,
одной из постоянных которой является а.
§ 18.10. Вариация
В этом параграфе мы рассмотрим полярные координаты г и V, где v означает
истинную долготу Луны. Средняя долгота Солнца равна njf + Ej и,
следовательно, поскольку г = 0, угол между осью х и направлением на Луну
равен v — n^t—sr Поэтому
х — Г COS (v — fl]t — Ej), у = r Sin (v — tl-jt — Sj).
Далее,
r COS (V — nt — e) == r COS (v — n,/ — Ej —$) =
= xcos; + ysln$ = y(aC1 + sC). (1)
Диалогично
rsln(« — nt — s) = — —sC). (2)
Подставляя вместо и и s их выражения (6) § 18.05, мы будем иметь
rcos(« — nt — е) = а[1 +(a1 + a_1)cos 2$ +
+ (e2“be-2)cos4?+ •••]» (3)
rsln(v — nt — e) =
= a[(a! — a_!)sln2$-J-(aa — a_2)sln4?-J- ...]. (4)
1) Так как r2 = us (z = 0), то при помощи формулы (6) § 18.06 легко
найти г2.
394
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Выражение для х/г можно легко получить из уравнения (15) § 18.04, в
котором нужно положить W = 2 — 0. Это уравнение тогда запишется следующим
образом:
— = sD2u uD2s 2m (sDu -f- uDs) -f- ^ т2 (и + s)2. (5)
2) Чтобы найти уравнение центра v — nt — е, которое мы временно обозначим
через 6, поделим равенство (2) на равенство (1):
Mg6= -Г1' ~s;.
Следовательно,
1 + / tg 0 _ 2/й «Г1 2 аР _ 2 аР*
l-Hgb~e “ аС _2^-2У ЪаАГ
откуда
2/0 = ln(ScyC2y) —ln(SeyC?y)- (6)
Далее,
2 af?^ = 1 —|— (ejC2 —|— e_iC ^-l-(сгС4+в-г)-!- • • •
и
In(2 й/С2Л — — в]в_j —|— вjC2 —|— в_jC 2-|-
+ (в2 — |в?)с4 + (в-2 — 4Н_>**
Поэтому из формулы (6) мы получим
2/6 = а, (С2 - С?) + а_, (С“2 - СГ2) + ...
