Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 106

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 140 >> Следующая

движение узла и перигея. Основным приближением в теории Хилла является
частное решение уравнений движения, получаемое в предположении, что
эксцентриситетом Солнца, его параллаксом и координатой z можно
пренебречь, т. е. что 2 = W — z = 0. Кривая линия, соответствующая этому
частному решению, называется промежуточной орбитой. Как мы увидим дальше,
это частное решение содержит только две произвольные постоянные.
Промежуточная орбита является, конечно, только приближением к орбите
Луны. Важное преимущество этой орбиты вытекает из следующих двух
положений: 1) она с самого начала учитывает основную часть солнечных
возмущений и 2) координаты Луны в промежуточном движении могут быть легко
выражены сходящимися периодическими рядами, коэффициенты которых связаны
сравнительно простыми рекуррентными соотношениями. Эти коэффициенты
являются функциями ш, численное значение которого известно с очень
высокой степенью точности, и поэтому их можно вычислить со всей
необходимой точностью.
Положим в уравнениях (8) и (9) § 18.03 2 = z = 0. Принимая вместо t
переменную ? = (л — njtf— tQ) и учитывая то, что
Л, (А
п — п, (я —л,)2
мы перепишем названные уравнения в виде
d*x c,mdy ,„2 xjc. /1ч
§ 18.05. Промежуточная орбита
385
В этих уравнениях мы будем рассматривать ш как малую величину— численное
значение m приблизительно равно 0,081. Если пренебречь величиной ш2, то
легко видеть, что уравнения (1) и (2) допускают частное решение
* = acos5. y = asin5 (3)
при условии, что
р = 1 + 2т. (4)
Общее решение уравнений (1) и (2) содержит, конечно, четыре произвольные
постоянные. Решение (3) включает в себя две постоянные п и t0,
содержащиеся в формуле, определяющей 5- Постоянная а выражается через ш,
п и j», причем р определяется формулой: Ix==0(E + M) и рассматривается
как известная величина.
Более точное решение можно записать в виде
х = &(1 + />)cos5, у = а(1+?)sln?,
где р и q— величины, имеющие по меньшей мере первый порядок малости
относительно ш. Поэтому, если пренебречь квадратами р и q и их
произведением, то
г2 = а2 [ 1 +p + q + {p—q) cos 2;]
и
pr = p(l+/>)cos$[l — j (/> + ?) — f-(p—q)cos2t]s
при этом последнее выражение, если его упростить, будет содержать член,
содержащий множитель cos 5 • cos 2-, который дает члены, зависящие от cos
5 и cos 3;. Этот факт наводит на мысль, что более точно координата х
должна выражаться следующей формулой:
* = a(cos5 + />cos5 + /-cos 35)
и, аналогично,
у = a (sin 5 + q sin 5 + s sin 35).
Очевидно, что если р и q являются малыми по меньшей мере порядка ш,
то г и i будут малыми по крайней мере порядка ш2. Эти
рассуждения легко продолжить, и, следуя Хиллу, мы предположим, что х и у
можно представить рядами вида
х = Ай cos 5+^4i cos 35 + А2 cos 55 + ....
у — Bq sin 5И- sin 3i;-j- B2 sin 5; —j— • *.,
в которых порядок Aj и Bj уменьшается вместе с возрастанием J. Хилл
положил
Aj — a (fly + Bj = &(aj — (5)
где без ограничения общности можно считать, что а0 = 1. Однако ради
симметрии мы оставим ап в общем виде, и его значение подставим тогда,
когда это потребуется. Ряды для х и у могут быть
25 У- Смарт
386
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
теперь записаны в виде
00
х = а 2 «у cos (2У + 1)5,
— СО 00
у = а2 aysin(2/+ 1)5.
— 00
Переменные и и s тогда будут представлены следующими рядами:
« = ai«/;2'+\ s = aifl/r2'-1 (6)
— 00 —00
Последние выражения для и и s представляют частное решение
уравнений (11) и (12) § 18.04 при W — z — Q. Эти уравнения
имеют вид
D2« + 2mD« + -|-m2(« + s) —х^ = 0. (7)
D2s — 2mDs + -j ш2 (и + s) — x^ = 0, (8)
причем а и x, как и в равенстве (4), рассматриваются как функции ш.
Аналогично преобразованные уравнения (14) и (17) § 18.04 записываются в
виде
D(uDs— sDu — 2mus) +m2 (и2 — s*) = 0, (9)
D2 (us) — DuDs + 2m (s Du — и Ds) + j«J(« + s)J = C. (10)
Уравнения (9) и (10) будут использованы для получения выражений aj в виде
функций параметра т. После того как будут получены ряды (6) для и и s,
выражение для х/а3 может быть найдено путем подстановки этих двух рядов в
уравнение (7) или (8). Значение С, если это потребуется, получится
аналогично из уравне-
ния (10).
Заметим, что уравнения (7) и (8) не являются независимыми, так как каждое
из них, будучи комплексным, дает одну и ту же пару уравнений для
действительных координат.
§ 18.06. Умножение и деление рядов
При подстановке рядов]), которые мы запишем в виде
и = а2в/Са/+\
e = a2«iC“2<"\ (1)
') В оставшейся части главы знак 2 означает, если не оговорено особо,
суммирование от —оо до -)-оо по всем целым значениям I или какого-либо
другого индекса, включая и нуль. Если необходимо различить два или более
индексов, то соответствующий индекс указывается при знаке суммирования.
§ 18.06. Умножение и деление рядов
387
в преобразованные уравнения (9) и (10) предыдущего параграфа нужно
произвести перемножение указанных рядов. В дальнейшем мы встретимся также
с делением двух рядов. Здесь мы рассмотрим общие принципы тех
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed