Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
В предыдущих параграфах мы получили в первом приближении
решение задачи с точностью до членов третьего порядка
включи-
тельно относительно малых величин. В частности, в уравнении (3) § 17.10
для радиуса-вектора мы отбросили Р", а при вычислении Ьи
отбросили bxQ Сейчас мы рассмотрим общий метод, развитый
Понтекуланом, значительно полнее.
Здесь мы будем интересоваться только слагающей Рг возмущающей функции,
которую для удобства запишем в виде
R3 — m2n2a2(A cos 5 -f- ? cos 35), (1)
где
А=Н' В=Н• (2)
Так как а/а, рассматривается как малая порядка т2, то А и В имеют второй
порядок малости.
Следует напомнить, что а/а, является краткой формой записи точного
выражения
Е — М а Е + М ' а, •
§ 17.18. Члены, зависящие от a/at
367
1) Уравнение для радиуса-вектора.
В первом приближении мы пренебрежем величинами Р" и 8,Q. Если Ьи2
означает ту часть Ьи, которая включает в себя параллактические члены, т.
е. члены, пропорциональные a/av то уравнение для Ьи2 приведется к виду
D* (8irj) + я» *в2 = (3)
Далее, Q2 выражается формулой
Q2 = bRb+zfRb±-dt + 2f^bxdt. (4)
Первый интеграл здесь имеет шестой порядок малости, так как г1/г1 есть
малая порядка тех. Поэтому мы его отбросим. Во втором интеграле
достаточно положить vx = пх — тп. Так как; = я(1 —m)t-(- .... то
последний член в выражении (4) с точностью до малых порядка т5
включительно равен 2mR3. Поэтому
Q2 = (5 + 2m)/?3.
Уравнение для Ьи2 тогда примет вид
D2 (Ьи2) + я2 Ьи2 = — т2п2 [(5 + 2т) Л cos 5 + (5 + 2т) В cos 3*]. (5)
На основании принципов, изложенных в случае 1 § 17.11, коэффициент при
cos? в частном решении этого уравнения будет иметь первый порядок
малости. С точностью до малых порядка т4 мы имеем
Ьи2 — т2[ A cos 6 + t _V(i — «)« 5 cos 3'] =
= —&'»(1+-ЕГ'»)'5ГС085—Um2fcos31
В следующем параграфе мы увидим, что члены четвертого порядка в
коэффициенте при cos? найдены нами пока не полностью.
2) Уравнение для долготы.
Если через 8г>2 обозначить возмущения в долготе, обусловленные /?3, то,
согласно уравнению (3) § 17.17, мы будем иметь
= + (7)
или в первом приближении
(1 - т) ? (Ч> = 2 »«, + (8)
откуда с точностью до малых порядка т* легко находим, что
^2=- (ж "?+ § **) -ksln 11+ Й m2 sin (9)
368
Глава П. Теория Луны Понтекулана
Как и в случае 8в2, члены четвертого порядка в коэффициенте при sin;
найдены еще не полностью.
§ 17.19. Второе приближение для Зи2 н 3®2
Согласно формуле (3) § 17.10, общее уравнение для 8а имеет вид
D2(Sa) + a28a +-§- — />" + n2bb — л2(с2 — 1)(- — l) = 0. (1)
Я \ Р /
Наша задача сейчас заключается в том, чтобы найти 8а2 и bv2 с точностью
до малых порядка тп4 включительно.
Мы рассмотрим все члены до пятого порядка включительно в Р' и полном
выражении для Q, которые составляют коэффициент при cos ?; такие члены в
частном решении уравнений дадут соответствующие коэффициенты с точностью
до малых порядка т4.
1) Согласно формуле (2) § 17.10,
р=-[(т)>-1]8“+т(г-),<8“>2’ <10>
где через 8а обозначено возмущение при условии, что возмущающая функция
рассматривается полностью. Таким образом, 8а представляет собой полное
решение, которое мы должны бы были получить к настоящему времени.
Очевидно, что новые члены, содержащие cos?, могут появиться только через
посредство (8а)2. Из членов, появляющихся в 8а за счет выражения (1) §
17.16, нам нужно рассмотреть только следующие:
-^-m2+ m2cos2;.
Члены, зависящие от е,, по крайней мере с точностью малых величин
рассматриваемого порядка, в выражении Р' фигурировать не будут. В
предыдущем параграфе мы нашли часть 8а, обозначенную нами через 8а2. С
точностью до членов третьего порядка она выражается формулой
S 15 а
Ьи2 = —jg- т — cos 5.
Таким образом, мы получаем, что нужная нам часть в (8а)2 равна 4-»t2 +
m2cos 2? — 4|-m —cos S.
О 10 #j
Легко видеть, что член пятого порядка, зависящий от cos?, равен —
Tm3"ircos^ Таким образом, слагаемое, происходящее от —Р'%
$ 17.19. Второе приближение для Ьи2 и йог
369
равно
2) Рассмотрим теперь величину SjQ, которая выражается фор-
где с точностью до членов четвертого порядка малости Q = 4/?2+ 5/?3.
Очевидно, что мы можем пренебречь величиной /?3. Для наших целей
достаточно принять
Q = 4/?2 = т2л2г2(1 + 3 cos 2;).
Так как 8г =— р2(8я/а), то мы будем иметь
8jQ = — 2т2я2а2(1 —|— 3 cos 2;)8й — 6m2rt2a2sin2;rfv.
Единственные члены в выражениях для Ьи и bv, которые могут ввести
слагаемые в коэффициент при cos; не выше третьего порядка относительно т,
будут
Этот член, имеющий пятый порядок, нужно прибавить к правой части
уравнения (5) § 17.18. Уравнение для 8и2 тогда примет вид
D2 (8й2) + я28й2 = - т2я2 {[|-(5 + 2т) + -jg-] cos; + cos 3?}.
Частное решение этого уравнения с точностью до малых порядка т*
определяется обычным путем и имеет вид
3) Так как мы ищем 8и2 с точностью до малых порядка т4, то формулу для
8я2 мы получим, если подставим в формулу (8) § 17.18 вместо 8я2 его
выражение (3). Мы тогда найдем
мулой
С точностью до малых порядка тъ мы тогда найдем, что
