Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Функция
М — nt + е — <5
примет теперь вид
M — — й0 — (1 —c)nt = cnt-\-z — й0.
Таким образом, М есть средняя аномалия, измеряемая от движущегося
перигея.
Аналогично
ij= я/ + е — 2 = я/ -(- s — 20 — (1 — g) nt — grit + е — 20.
Из того, что мы сказали ранее, следует, что 1 — с
положительно,
а 1 — g отрицательно. Перигей и узел будут описывать углы, равные 2it, за
периоды времени 2it/(l — с) л и 2тс/(g— 1)л. Эти периоды равны 9 и 18
годам соответственно.
Опуская индекс нуль в й0 и 20, положим
ср = cat + ? — й, (2)
n = gnt + t — 2. (3)
В этих формулах ш и 2 теперь рассматриваются как постоянные. Как мы
увидим, они являются постоянными интегрирования, появляющимися при
решении уравнений движения.
В следующих двух параграфах мы определим приближенные значения eng.
§ 17.05. Среднее движение перигея
В этом параграфе мы получим приближенное решение уравнений § 17.03,
пренебрегая малыми величинами s, 7, а, и е/е,. Кроме того, пренебрегая
еще величиной е2 в формуле (7) § 17.03, мы будем иметь Л0 = лаг и Л =
ла2(1+8Л). Далее, в функции R, определяемой формулой (5) § 7.06, мы
отбросим долготные члены и сохраним только основной член, так что получим
R = jmW. (1)
Здесь /л = Л]/л является величиной первого порядка малости.
Положим г = а-\-х, где о имеет тот же порядок, что и а, а х является
периодической функцией. Мы предположим далее, что амплитуда х мала, и
поэтому будем пренебрегать величинами х2,
1*3
и* » • • • *
§ 17.05. Среднее движение перигея
345
Уравнение для радиус-вектора, т. е. уравнение (1) § 17.03, теперь примет
вид
ах — ^ 1 — я2а2 = т2п2 (а2 2 ах) я2а2 8 Ь,
так как, согласно (1),
W-
Поскольку х — периодическая функция, то мы имеем
^ + «2[(т)3 — №]х = 0 (2)
и
а2 —-?- = т2а2 в2 ЬЬ. (3)
Положим теперь о = а(1—8а), где 8а является малой величиной,
квадратом которой мы будем пренебрегать. Тогда уравнение (2) может быть
записано в виде
* + с2л2* = 0, (4)
где
с2 = 1 -4- 38а — 2т2. (5)
Формула (3) теперь примет вид
8а —|— /»2 —(— 8^ = 0. (6)
Решение уравнения (4) запишется следующим образом:
х — Аа cos (cnt -(- е — ш), (7)
где А и ш — новые постоянные интегрирования.
Рассмотрим теперь уравнение для долготы — уравнение (2)
§ 17.03, — в котором R выражается формулой (1). Тогда
^ = ЛоО±8Л)_ ^! _ Щ = я ^+ 28а + 8а _ Щ'
Согласно формуле (9) § 17.01, решение этого уравнения имеет вид
v = nt-\-e-\-n. ч.
Следовательно, мы должны иметь
28а —|— 8А = 0 (8)
и
v = nt-\-t — 2 y sin {cnt + е — ш). (9)
346
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Воспользуемся теперь уравнением (5) § 17.03. Достаточно в него подставить
непериодические части г и v, и мы будем иметь
я2 = Зя2 5а = i т2я2.
о3 I
Поэтому ;8а = 76т2. Из формулы (8) находим: 8Л = — Уз/я2, а из формулы
(6) — lb = — 7/б/и2.
Далее, из равенства (5) имеем
с2 = 1 — т2,
откуда с точностью до малых величин порядка ш2 находим
(10)
Обозначая, по аналогии с формулой для радиус-вектора в невозмущенном
движении, постоянную интегрирования А через —е, приближенные выражения
для г и v можем записать в виде
г = а ? 1 — -g- m2 — е cos (cnt + e — ш) j,
v — nt-\-s-\-2es\n(cnt-\-z— ш).
При этом мы пренебрегли величиной ет2 в амплитуде периодического члена
формулы (9).
Если г и v выразить через <р, определяемое равенством (2) § 17.04, то эти
формулы примут вид
r — a[ 1 — 4-m2— е cos eV
' 6 > (11) v = nt 6 -|— 2е sin <р.
§ 17.06. Среднее движение узла
Рассмотрим теперь уравнение (3) § 17.03 для широты. Мы будем пренебрегать
величинами s3, е, et и a/at. Из формулы (5) § 7.06 имеем 0
dR 1 оо dR 3 022
~5F~~2 т п г и ? = -7«^2Л.
Поэтому
/У2 й2дЗ
-fit (rs) + —rs = — m2n2rs.
') Долготный член в выражении R по-прежнему отбрасывается.-Прим. ред.
§ 17.07. Модифицированные переменные
347
Так как « = 0, то г— о. Следовательно,
s + n2(l + 3oa-}-m2)s = 0
и
s = 7 sin (gnt + е — 2), (1)
где у и 2 — постоянные интегрирования и
g2 = 1 -f- 38a + /и2 = 1 4- m2,
или с точностью до малых порядка т2
g=\+^m2. (2)
С точностью до малых первого порядка относительно у мы из формулы (1)
находим, что
z = ay sin (gnt + е — 2),
или
z = ay sin т). (3)
§ 17.07. Модифицированные переменные
В невозмущенном движении радиус-вектор г и долгота v даются формулами
-j = 1 + «2 — «cos М—^-«2cos2A4 (1)
и
t> = rt/ + e-j-2esinAf-}-^ «2sin2Af — ji2sin27}', (2)
где
M = nt-\-e—u>, r[— — 2.
В эти формулы, предназначенные здесь лишь для иллюстрации, мы включили
только члены второго порядка относительно е и 71).
Обозначим теперь через р/a правую часть (1), когда М заменено на <р.
Тогда с точностью до членов второго порядка включительно имеем
— = 1 + е2 — е cos <? — ^ е2 cos 2?. (3)
’) С точностью до членов третьего порядка выражение для г дается формулой
(7) §7.06, а для о —формулой (11) § 7.06, причем в § 7.06 величина v
обозначена через X. Заметим также, что т; в § 7.06 — это то же самое, что
и 1}' в настоящем параграфе, т. е. nt-\-i — Q.
348
Глава П. Теория Луны Понтекулана
Аналогично обозначим через w правую часть (2), когда М заменено на <р и
