Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований, которые нужно проделать в уравнениях (9) и (10) § 18.05.
Отметим, во-первых, что если написать 2r-f-l вместо —21 — 1, то ряд для s
может быть представлен в виде
* = а2«.г.,С!г+1 (2)
и, во-вторых, что, поскольку s и и — сопряженные величины, мы можем
написать
s = а 2 «Л5<+\ (3)
где Cj — величина, сопряженная С, т. е. Cj = exp[—У—15]. Рассмотрим два
ряда
U= 2 А{™*\ V = 2 В A 2r+1.
1) Произведение UV.
t/v=22'W2'+2r+2.
/ г
Напишем 2/ вместо 2/ + 2г + 2. Тогда
uv=2S с2/ == 2 с/:2/.
ij
где
С/ = 2^5/_<_1. (4)
Отсюда может быть вычислен любой из коэффициентов С, если известны
величины А и В.
2) и2. Здесь U = V — u, At = ai, Br = ar. Поэтому, используя формулу (4),
находим
«2 = a22S^-<-iCy. (б)
3) us. Здесь U = u, V = л. At = at и, согласно формуле (2), 5г==а_г_1.
Поэтому
м — а*22«|«/-?2У- <6)
i J
4) s2. Так как s — величина, сопряженная с и, то согласно формуле (5)
имеем
л2 = а2 2 2 o.tUr-1-iC2r
I г
25*
388
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
или, заменяя г на —J,
(7)
5) sDu. Так как D = t(d/dt.), то D« = a2(2* + 1)а?м+|. Поэтому по
аналогии с п. 3 будем иметь
кроме того, мы имеем следующие легко выводимые разложения,
8) Отношение U/V. Очевидно, что U/V имеет вид 2 Dp1. Поэтому
Задавая I последовательно значения 0, —|— 1, —1, —|—2, —2 мы
получаем последовательность уравнений. На практике значения коэффициентов
D определяются методом последовательных приближений.
§ 18.07. Общее выражение для О/
Подставим теперь выведенные в предыдущем параграфе выражения для и2, us,
s2, sDu и т. д. в уравнения (9) и (10) § 18.05 и применим (там, где
нужно) оператор D. Мы тогда получим
S S { W-t[4у2-(2/ + 1} (2У_2i-1) + 4ш (2/ -У + 1) +1 ш2] +
(8)
6) и Ds = a2 2 2 (2/ — 2/ — 1) ap^p1,
i J
7) DuDs = a2 2 'Si(2l+l)(2J — 2l—l)alal_pJ.
i J
(10)
0)
2 Af* = 22 BrDp,+il=22 Bi-pp1'
T j I J
Приравнивая коэффициенты при Cw, получаем
ПО
X 2 {a^-'14 J (2/-J+1 y+4Jm] -
I 1
— m2 at (a;_,_, — ] C2' = 0. (1)
i 1
H- "4 m2fl*Ч- (2^
§ 18.07. Общее выражение для aj
389
Эти равенства являются тождествами и поэтому в них коэффициенты при &
равны нулю, за исключением того случая, когда в формуле (2) У = 0.
Умножая равенство (1) на 3, а равенство (2) на 2, будем иметь
2{в/«/-/1127(2/-7+1)+127т]-
i
— 2" m2fli= 0* (3)
Ц { а1а-,-1 IST3-- (4/ ?+ 2) (27 - 2/ -1) + 8т (2/ - j + 1) + 9т*] +
i
+ (fly_/_i + fl_y_/_1)|==0. (4)
Вычтем уравнение (3) из уравнения (4), а затем сложим их. Тогда мы
получим следующие два уравнения:
2 alal_jAiJ-\- 9m2 2 = 0, (5)
2 at_jBи9т2 2 aia-}-i-\ — 0» (6)
где
Ац = 2йр— 1бУ(2/-|-1)-|-2(2/+1)2+т(8 + 16/-207) + 9т2. (7) В/у = _4У2 +
8У(2/Н-1)Н-2(2/+1)2 + ш(8+16/ + 4У) + 9т2. (8)
Напомним, что в этих последних формулах ]ф9, а I принимает все целые
положительные и отрицательные значения, включая и нуль.
Пусть 2' означает суммирование по всем, кроме нулевых, целым значениям
индексов. Тогда уравнения (5) и (6) можно записать в виде
«оа-уЛу + 2' atat4AtJ + 9ш2 2 <^-/-1 = 0, (9)
aoa-j&oj~\-^i aiai-jBlj-\-9val^l ala_j_l_l = Q. (10)
Умножим уравнение (9) на B0J, уравнение (10) на A0J и вычтем. Тогда
получим
2' 9ш2 2 afiij — 0, (11)
где
C,j — B0jAtj— A0jBtj =
= — 48/7 [4^ +47 — 2 + 4/(У— 1) + 4ш(У — / — l)+m2] (12)
и
Di) — B0iaj_i_ j — Aye-y-z-i. (13)
Пусть, далее, 2 означает суммирование, когда 1Ф 0 у. 1ф j\ тогда
уравнение (11), если в нем выделить из 2 член ПРИ t — примет
390
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
вид
aoajC]]-\- 2 aiai-fii]-\- 9m5 2 a/Dij — 0. (14)
Пусть
w=-^- w“TSr <‘е>
Тогда, полагая fl0=l и используя формулу (13), мы приведем
уравнение (14) к виду
Я;=2"[У. t\ afit-i + nPlJ] 2 й/Я;-/-1 + тг(У)2 aia_J_l_v (16)
Это и есть искомая формула, определяющая д;-. Выражения для [У. ^1* 1У1.
(У) даются следующими формулами:
I/ л- /14уа + 4у-2 + 4/(У-1) + 4ш(/-г-1) + т»1
|У, /j— у(8/> —2 —4т +та) ’
3(-4уа + 8У+4ту + 2 + 8т + 9ш»)
Ш — 16y2 (8у2 —2 —4т +т2) '
3(20у2-1бу-20ту + 2+8т + 9т2) Q
и)~ 16У2(8У2 —2 —4m + m2)j ’ ^
Все этл три функции!) имеют нулевой порядок относительно ш.
Так как ]Ф 0, то знаменатели этих выражений никогда не обра-
щаются в нуль, и, таким образом, каждая функция может быть разложена,
если это необходимо, в сходящийся ряд по степеням ш или вычислена
непосредственно, если подставить численное значение ш.
Полагая в формуле (2) У = 0, можно получить, если это требуется, значение
С.
§ 18.08. Вычисление коэффициентов а
1) Положим в формуле (16) предыдущего параграфа У= 1. Тогда
а\ = 2*!1- fle*e/-i + m8lll 2 Я/Я-/ + т2(1) 2 а,а_,_2.
В первой сумме 1ф\. Поэтому имеем
а1 = (1, 2]flja2-|-[l, 3]а2а3-|- ... -J-
-)-|1, —Ua-ia-2“bП* —2]а_2а_3-)- ... -\-—1— ni211 ] [o2-|-2ala_1-|-
2aJa_j-l- ...]-f -f-mJ(1)[а0а_2-+- й]й_3-Ь ...]. (1)
') Хилл определил величины []] и (Л как коэффициенты при втором и третьем
членах выражения (16). Таким образом, функции Хилла отличаются от
функций, определенных формулами (15), множителем ш2. Однако, если
возникает необходимость оценивать порядок различных членов, то
