Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Более высокие приближения находятся обычными методами. Уравнения (2) и
(3) преобразуются аналогичным образом.
§ 17.09. Уравнения, которым удовлетворяют р и w (y = 0)
Уравнение (20) § 17.08 и два других, получающихся из уравнений (2) и (3)
того же параграфа, удобно преобразовать, если воспользоваться
уравнениями, которым удовлетворяют р и гг» при ^ = 0. Ранее мы имели
^- = 1(8/?2+15/?з) + 2 / 1(6/?2-Н2/?з)-^,// + + 2 Jy (2/?г+ SR3)v1dt.
(17)
(20)
= 1 — е cos <р -|- у е2 (1 — cos 2?) ..., гг» = я/ + е-ф 2esln'f -J-
e2sin2<p ..
• • • #
352
Глава 17. Теория Луны Йонтекулана
где 9 = cat + е — ш. Пусть
так что
w0 = cat -f- s -{- 2е sin ср, w = w0 -j- n (1 — c) t.
Пусть, далее, т = ct. Тогда
-j=l—ecos(rtx + e—o>)+
®0 = /tT + 6 + 2esin(/tT + e — <o)
Очевидно, что p и w0 соответствуют невозмущенному движению в плоскости
эклиптики, причем время обозначено через т. Положим в уравнениях (1) —
(3) § 17.08 R — 0. Тогда р и w0 будут удовлетворять уравнениям
В этих уравнениях й0 = па2 }Л — е2.
Так как каждое из выражений с2—1 и с — 1 является величиной порядка т2,
то предыдущие уравнения мы запишем следующим образом:
Поскольку (а/р) — 1 есть малая величина порядка е, то правая часть
каждого из этих уравнений имеет порядок т2е.
§ 17.10. Уравнение для радиуса-вектора
Мы будем исходить из уравнения (1) § 17.08. Вместо того чтобы производить
в нем разложения по степеням Ьг, где br = r — р, для дальнейшего более
удобно разлагать по степеням величины 8и, опре-
dw0 _ йо 1 d2f , л*а* / dwa \* „
dz ~~ р» ’ р dxi ~т" р» \ dx ) ~
откуда
dw0 ch0
dt р*
§ 17.10. Уравнение для радиуса-вектора
353
деляемой при помощи равенства
(1)
из которого легко найти, что
8r==_^8H+-J-(Sa)2 — (Ьи)3----
Поэтому
Пусть Р определяется формулой
(2)
Тогда
и уравнение (1) § 17.08 принимает вид
1D2 (?)* -n2f + n2-D2 (tu) - п* Ьи + Р" = + «2 ЬЬ,
где Р'г = ((P/dt2)Р. Воспользовавшись теперь уравнением (1) § 17.09,
получим
D2 фи) -j- я2 8й = я2 (с2 — 1) (у — 1)~ %? + ?' — п2ЬЬ- (3>
В этом уравнении Q и ЬЬ являются малыми величинами порядка т2, а первый
член правой части имеет порядок пРе. Согласно равенству (2), коэффициент
при Ьи имеет порядок е. При получении первого приближения (с точностью до
малых порядка /п3, так как предполагается, что порядок е совпадает с
порядком /п) мы должны рассмотреть только первый член выражения для Р в
формуле (2).
При решении уравнения (3) методом Понтекулана предполагается, что Ьи
можно представить тригонометрическим рядом, аргументы членов которого
зависят от ?, ср и ср,, а амплитудами являются неопределенные
коэффициенты. Если такое общее выражение для Ьи подставить в уравнения
(3), то оно превратится в тождество, в результате чего мы получим
последовательность уравнений, содержащих эти неопределенные коэффициенты
и величины с и ЬЬ. Аналогичный метод применим и к решению уравнений (2) и
(3) § 17.08. Таким образом, получается достаточное число уравнений для
выражения неопределенных коэффициентов и постоянных с и ЬЬ через /п, е и
в]. Прежде чем рассматривать этот метод в деталях, мы сделаем в следующем
параграфе несколько замечаний о некоторых членах, которые появляются в
правой части уравнения (3) за счет возмущающей функции.
23 У. Смарт
354
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
§ 17.11. О некоторых членах возмущающей функции
Типичный член правой части уравнения (3) § 17.10 может быть записан в
виде
n2kt cos -|- р<р + -уср,) == n2kl cos (pnt + 7), (1)
где а, р и 7—положительные или отрицательные целые числа, a kt — малые
порядка тп1 по сравнению с е, ег m, a/av Далее,
? = (я — я,)* + ... = я(1 — m)t-\- ....
<Р = ся/+ ... = я(1—-|яг2+
<Pj = rti/+ ... =mnt-1- ....
Поэтому р в формуле (1) выразится формулой
Р = в + р —ж (а —7) — -Jpfft2. (2)
Следовательно, уравнение (3) § 17.10 для Ьи можно записать в виде
D2 (Ьи) -\-п2Ьи = п2А + я2 2 cos (Pn*+Я)- (3)
При выводе этого уравнения мы для простоты отбросили Р. Следующий шаг
состоит в получении частного решения уравнения (3). Имеем
Ьи = А + J] YZIJicos (Pnt + Я)-
Случай 1. Если р имеет вид
р— 1 +aim + pim2+ ..., (4)
где aj Ф 0, то kj(\—р2) «— Поэтому часть решения,
соответствующая члену (1), в этом случае имеет порядок 1 — 1.
Следовательно, чтобы получить Ьи с точностью до малых порядка 1, мы
должны включить в правую часть уравнения (3) члены порядка /-{-1.
Из формулы (2) следует, что р будет иметь вид (4), если а—|— р == 1, а —
7^=0. Аргументами таких членов являются, в частности, ?, 2? — <р, 3; —
2:р, и вообще
H-0+Ti)9i. 2;-<р + (2 + 71)9,. 3S-2cp + (3 + Tl)<p1.....
где 7i Ф 0.
Аналогичные члены будут и в уравнении для долготы с той лишь разницей,
что там ср заменено на (^gnt-\-е — 2).
Случай 2. Если р имеет вид
/> =1 +М2+ ••••
§ 17.12. Вычисление Q (р, w)
355
то
hi ht
i -р» ~ гм* ‘
Таким образом, в этом случае члену (1) будет соответствовать в решении
член, имеющий порядок I — 2. Следовательно, если нам нужно получить Ьи до
порядка I включительно, то мы должны в правую часть включить некоторые
