Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
следующим образом:
Я = 1л2(2*2 — у2 — г2) + 2, (5)
где
При этом 2 будет функцией координат, если в первом члене
заменить г2Р2(а) правой частью равенства (3)•). Очевидно,
что 2 имеет
порядок тЧу Мы положим
2 = 22+23+..., (7)
‘) Очевидно, что и член r3P3(a) может быть выражен через (прямоугольные
координаты Луны по формуле, аналогичной формуле (3). — прим.
'ред.
§ 18.04. Введение комплексных переменных
3&1
где Qp означает однородную функцию порядка р координат Луны. Подставляя
выражение (5) в уравнения (2) — (4) предыдущего параграфа, мы получаем
х — 2я,у — 3»2*= — ??.+ *?., (8)
у+2Я,± = + (9)
z+ +n\z = _<? + -g-. (10)
Умножим эти уравнения соответственно на х, у, z и сложим. Тогда,
поскольку
Я2 • . • дй , дй'
dt ~ Л дх ^ * ду ^ ‘ дг ^ dt ’
где dQ'/dt означает производную по t, входящему только посредством
координат Солнца, мы, интегрируя, получаем
х^ —(— у2 —(— z* — Зл2дс2 —(— л2.?2 = —j~—(— 22 — 2 f-^-dt + C. (11)
Равенство (11) является интегралом Якоби в общем случае О*
Первый член в правой части равенства (5) является главной частью
возмущающей функции. Этот член фактически будет представлять собой полное
выражение для R, если мы пренебрежем величинами е, и в/а,. Решение
системы уравнений (8) — (10), в которых 2 опущено, даст главные
возмущения движения Луны, возникающие от действия Солнца.
§ 18.04. Введение комплексных переменных
Положим
и = л: + /у, s — x — ty, (1)
где / = У—1. Тогда
л2 — us-)- z2 (2)
и, кроме того,
дй дй_ . дО. дй . (дй ________ дй\
дх ди ' ds ’ ~ду \ ди ds )' '
/о°
-gj-dt, вообще говоря, не может быть взят
до подстановки в подынтегральное выражение координат Луны, выраженных в
виде функций времени, соотношение (11), строго говоря, не является
интегралом системы дифференциальных уравнений (2) — (4) § 18.02. Поэтому
равенство (11) более уместно называть .квазиинтегралом ? Якоби. — Прим.
ред.
382
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Умножим уравнение (9) § 18.03 на t. Тогда, складывая полученное уравнение
с уравнением (8) § 8.03, а затем вычитая это уравнение
из уравнения (8) § 8.03, мы при помощи формул (3) найдем
и+2/»^ —|-«2(« + s)== —(4)
5 —2/я^ —|«2(« + s) = —р-р-Н-2-^-. (5)
Положим теперь
& = (» — «j)/ + e — e^in — «!>(/ — /0) (6)
и
С = (7)
Пусть, далее, D означает оператор C(d/dC). Тогда
ii = (n — n1)-^- = t(n — Я1)С^- = /(я — nx)Du. Аналогично
и — — (я — я,)2 D2u.
т = 7^Г- ®
Пусть
Л —Я!
u dW
X a r3 ds ’
s dW
% r3 du '
г 1 dW
% r3 2 dz
(9)
Тогда уравнения (4) и (5) и уравнение (10) § 18.03 примут вид D2u -)- 2m
Du + ш2 (и -
rv,.
00 (12)
D2z — m2z = . (13)
Это и есть уравнения Хилла в новых комплексных переменных и, s и С.
Проделаем с этими уравнениями следующие преобразования:
1) Умножим уравнение (11) на s, уравнение (12) на я и составим их
разность. Тогда
uD2s — sD2u — 2 m (uDs + sDu) m2 (u2 — s2) = s — и .
Ho
D (и Ds) = и D2s + Du Ds,
D{s Du) = 5 D2u + Du Ds.
§ 18.04. Введение комплексных переменных
383
Поэтому мы получим
D(uDs — sDu — 2m us) -(- 4 m2 (и2 — s2) = s — и . (14)
2. Умножим уравнение (11) на s, уравнение (12) на и, уравнение (13) на
2z и сложим. Тогда в правой части мы получим следующее выражение:
I dW . dW . dW\
- и-*г+*-*г+г-зг '
ди ds дг )'
которое на основании теоремы Эйлера можно представить в виде где Wit Wv
... — однородные функции и, s иг. Мы теперь имеем
s D2u -(- и D2s 2z D2z + 2m (s Du — и Ds) -\-
+ 4m2(n + s)2-2m2z2-? = -2pWV (15)
3. Умножим уравнение (11) на Ds, уравнение (12) на Du, уравнение (13)
на 2 Dz и сложим. Тогда
Ds D2u -j- Du D2s + i m2 (« + s) (Du + Ds)+
-\-2DzD2z — 2m2z —(u Dss Du2zDz) — l dW „ . dW n . dW „ \
=-[ -wDu+-drDs+-drDz)' (16)
Член, содержащий множитель %, равен
- D (us + z)2 = — D (r2) = 2xD (I).
Кроме того, так как W — функция и, s, z и С (последняя величина
вводится посредством /, входящего в координаты Солнца), то
nw/ dW г> I dW . dW . dW „
DW=-wDu+-dTDs+-orDz+-dr[X"
Однако
4^ DC = с = Dtw == D {D-1 DtW),
где DtW означает применение оператора к № лишь постольку, по-
скольку W зависит от / (или от С) посредством координат Солнца, a D-1—
оператор, обратный D. Подставляя предыдущие формулы в уравнение (16) и
интегрируя, мы получаем
DuDs + (Dz)2 + 4 m2(и + s)2 — m2*2 + — Г + D"1 (DtW).
384
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Сложим это уравнение с уравнением (15). В результате получим ?>2 (us -|-
г2) — DuDs — (Dz)2 + 2m (sDu — uDs) -(-+1m2 (и + sf -3m2z2 = C-'2i(p+\)Wp
+ D~l (D,W). (17)
Уравнения (14), (17) и (13) являются новой формой уравнений Хилла.
Заметим, что величина х не входит в уравнения (14) и (17) и что мы ввели
новую постоянную С. Мы еще вернемся к этому замечанию в дальнейшем.
§ 18.05. Промежуточная орбита
В теории движения планет в качестве первого приближения, когда
отбрасываются возмущающие силы, принимается эллиптическая орбита. В
теории Луны Понтекулана первым приближением является .модифицированная
эллиптическая орбита”, посредством которой учитывается равномерное
