Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
где М и N предполагаются известными функциями ш. Будем искать решение
этого уравнения в виде
С"1 Дн = а [е~аУ~12 * Л' + V~l 2 / Л' ]• (2)
С As = а [е° ^ 2 ег(.~2г~с + е"° 2 / Л'+С]- (3)
Примем ши;0в качестве двух дополнительных произвольных постоянных и
будем рассматривать с как некоторую неопределенную
постоянную. Подставим равенства (2) и (3) в уравнение (1) и поло-
жим — j в тех членах, которые зависят от М и N, и r = J в других членах.
Тогда будем иметь
2* " 1С2/+с^/(2уН-с+ 1 + m)2+2(^ie/-/ + ^//-/)J +
+ 2 v rit2'-c [/,(2y - с + 1 + ш)2 + 2Л4,/у-/ + Л^-,] = 0.
§ 18.14. Приближенное значение с
399
Это равенство является тождеством, поэтому для любого значения j имеем
в, (27 + с+ 1 + т)2 + 2 (М,еы + = 0. (4)
7 / (27— с + 1 + + = 0. (5)
Запишем равенство (4) в виде
ej[(27 + с + 1 + m)2+ M0]++ Г№у-/+ад_;) = 0. (6)
Если заменить в уравнении (5) У на — J, то оно примет вид /_;1(27+С-1-
ш)2+Л10] +
+ M0eJ + %(Mif_J_l+NleJ+l) = 0. (7)
Исключая из уравнений (6) и (7) f мы получаем некоторое уравнение
относительно ej. Аналогично, если исключить из уравнений (6) и (7) ejt то
получим уравнение для f_j. Эти уравнения могут быть решены методом
последовательных приближений, т. е. методом, который использовался при
определении aj в § 18.07.
Из уравнений (6) и (7) видно, что при 7 = 0 существует некоторое линейное
соотношение между е0, остальными е и всеми /. Очевидно, что для всех
значений j мы можем определить величины ej!e0 и fj/e0. Поэтому
предположим, что еп есть произвольная постоянная,
причем четвертой произвольной постоянной будет ш.
§ 18.14. Приближенное значение с
Из уравнений (6) и (7) предыдущего параграфа нетрудно усмотреть, что
и /_,/*„ являются малыми величинами по мень-
шей мере порядка ш. Мы предположим, что порядок и /_у/а0 прогрессивно
увеличивается с увеличением |У|. Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 7
= 0; тогда с точностью до малых порядка т2 будем иметь
*оКс+1 +т)2 + 'Мо1 + ^о/о==0' (1)
«о^о +/о ((с — 1 — m)2 + Af0] = 0, (2)
откуда
[(с + 1 + ш)2 + М0] [(с - 1 - ш)2 + М0] - Л/8 = 0. (3)
Это уравнение дает нам возможность определить постоянную с
с точностью до малых порядка ш2 включительно. Далее, из формул (8) и (14)
§ 18.12 с точностью до малых порядка т2 включительно
400
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
имеем
2M0=l+2m + |m2, No = 9Мо — т2.
Поэтому уравнение (3) примет вид
[с2 _ (1 + щ)2]2 + 2М0 [с2 + (1 + ш)2] = 8Л1о —у ш2.
или
[с2 - (1 +т)212+2Л10 [с2 - (1 + т)2] = 4М0 [2М0 - (1 + m)2J -1 т2.
Правая часть этого уравнения имеет порядок ш2, поэтому с точностью до
членов порядка m имеем
с= 1 -|~ш.
Во втором приближении, которое определяется весьма легко, с оказывается
равным
с = 1 + m — ш2. (4)
Мы можем теперь вычислить постоянные е и /.
1) /0. Из формул (2) и (4) находим, что
/о = — «о • —3 0 — т2) «о-
2) б-\ и Д. Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 ] = —1. Тогда с
точностью до малых порядка ш2 включительно будем иметь
ех [(с — 1 + ш)2 + М0] + N0fx = — М_1е0 — ALi/0. e-iNo + /i 1(3 + ш -
с)2+ Л10] = _ MJ0-Nxeo.
Если выражение (4) для с подставить в последние уравнения и исключить из
них Д, то нетрудно найти e_v С точностью до малых порядка m получим
45
е-\ — §" те0'
После этого находим, что
^ 13 -/1 — g те0'
3) Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 /= 1. Тогда легко увидеть, что
ех и / являются малыми порядка ш2. Вообще, если г — положительное целое
число, то е_г и ft имеют порядок т2'1-1, а еТ и /_г — порядок т2Г,
§ 18.15. Эвекция
401
§ 18.16. Эвекция
В этом параграфе мы рассмотрим выражения для Ди и As с точностью до малых
порядка ш. При этом мы пренебрежем всеми коэффициентами е и /, кроме е_х
и fv Из формул (2) и (3) § 18.13 мы получаем
г, AfL в (*оСс + ,_,?-*)+<>0С-с+/,С2-с). (1)
С Ц- =* еы (*0ГС + e_jC2-c)+е~ы (ДСс+(2)
где I = У— 1. Кроме того, с точностью до малых порядка ш имеем и = аС, s
= aC~1. так что р = а и, согласно формуле (2) § 18.11,
, s Ац -f- и As . . C-1Am + CAs
\ a J а* ' а
Поэтому при помощи формул (1) и (2) находим
(?)2 = 1 + 2 (е0 + /о) cos(сб- «) + 2 (я., + /-,) cos [(с — 2)5—ш].
Подставим сюда выражения /0, e_j и /х через е0, выведенные в предыдущем
параграфе. Положим е = 2е0 и воспользуемся формулой (5) § 18.09; тогда
^ j2 = 1 — 2s cos (с? — о) — -jme cos [(с — 2) I — <о],
откуда
j — 1 + - j е2 — е cos (с\ — <о) + ^ е2 cos 2 (с? — <о) —
—y-mecosI(c — 2)$—ш]. (3)
В этой формуле постоянная е соответствует эксцентриситету эллиптической
орбиты. Последний член, который пропорционален те, является наиболее
значительным возмущением в радиусе-векторе, зависящем от т.
Рассмотрим теперь возмущения в долготе. В п. 2 § 18.10 мы обозначили
уравнение центра через 6 (=v—nt — е) и имели
Если 0О есть та часть 6, которая зависит только от m, а Д0—та часть,
которая зависит от е, то
(Я1 (0,+4в) __ С’Чи+Аи)
26 У. Сыарт
402
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
откуда
2/ Д0 = — ——, и s
или, поскольку с точностью до малых порядка ш имеем и*-1 = s\ = a,
