Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
а (дс, t") = а (дс, (') = 0. (3.25)
Функция Грина D, возникающая при разложении детерминанта в ряд теории
возмущений, является функцией Грина оператора д'Аламбера с этими же
граничными условиями. Такая функция имеет вид
Di{x, у) =
1 С aik{x-y) sin [ I ft I (Xp Q] • sin [ I k ] (г/p t )] ,3. /"
ПМ
~(2n)3)e 1 ft I sin [ 1 ft I (/¦" -01 ' K '
Хо<Уо',
при Xq ^ y0 D\ (x, у) определяется из условия симметрии D, (х, у) = D,
(у, х).
При таком определении оператора ML его детерминант положителен в рамках
теории возмущений, что и
100
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
оправдывает его использование в формуле (3.14) вместо |detA4i|.
Аналогично решается и вопрос об обходе полюсов в функции Грина d?v. Для
ее определения при конечных t', t" мы должны решить уравнения
? ^ = ^, 6^ = 0, (3.27)
где &ц удовлетворяет условию совместности
<5Д^ = 0. (3.28)
Граничные условия для этой системы таковы:
а; (ft, t") = a! (ft) еш", a, (ft, t') = аг (ft) e~(tm)r (3.29)
(/=1, 2),
dfr^k (*> 0 = 0 ПРИ t - t'\ t - t".
Граничные условия для si0 определяются из самой системы (3.27) и имеют
вид
d0siQ = 0, / = /', t = t". (3.30)
Решение системы (3.27) имеет вид
а](х) = а?(х)+\Ь(х, у)(у)dy, (з.з 1)
где
= Z (dj%S^-^flJ(ft)a'(ft) +
1 = 1, 2
g-ikX+ШдЬ* (ft) Щ (- ft) > (3.32)
V2(B
и векторы н) (ft) введены выше в (2.43). Функция Грина В(х, у) имеет вид
D (х, у) = Dc(x - y)Q (t" - г/о) О (Уо - О, (3.33)
и при t' -> - оо, t" оо, переходит в причинную функцию Грина Dc(x - у).
Остающиеся компоненты зф\ (х) и siо(х) даются формулами
sia (х) = ^ 02 (х, у) & о (у) dy; sif=^D2 (х, у)Э\ (у) dy,
(3.34)
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
101
где D2(x, у) - функция Грина оператора д'Аламбера с граничными условиями
d0a\t=f" = d0a\t=t, = 0. (3.35)
Эта функция имеет вид D2(x, у) =
_J_ [ pik (х-у) cos [ 1 fe I (Хр - /')] cos [ I ft I (y0 - t")] .3,
" (2я)33 | ft | sin [ | ft | (/" - /')]
й
x° ^ г/°.
При Xo ^ г/о, D2(x, у) определяется из условия симметрии. Объединяя
формулы (3.33), (3.36), (3.26), получаем функцию Грина в лоренцевой
калибровке для конечного интервала времени, согласованную с кулоновскими
граничными условиями.
Попробуем теперь перейти в полученных выражениях к пределу при t"-> оо,
t' -> - оо. Предел функции В(х,у) существует и совпадает с причинной
функцией Грина Dc(x - у). Это согласуется с тем, что трехмерно поперечные
составляющие Af (х) отвечают физическим поляризациям.
Функции D\ (х, у) и D2(x, у) не имеют предела при /"-> + оо, t'-*¦ - оо.
В то же время предел интеграла
(3.13), определяющего 5-матрицу в лоренцевой калибровке, должен
существовать, поскольку по построению этот интеграл равен кулоновскому
интегралу (2.40), для которого предел существует. Это значит, что при
разложении 5-матрицы (3.13) в ряд теории возмущений суммарный вклад
функций Dx и D2 стремится к определенному пределу. Формально этот предел
проще всего вычислить, регуляризуя одинаковым образом функции D\ и D2,
например, добавлением бесконечно малой мнимой части к переменной
интегрирования ft2. В результате такой регуляризации осциллирующие
экспоненты в подынтегральных выражениях для D\ и D2 станут либо
растущими, либо убывающими при больших \t'\, \ t"\ и предел будет
существовать. Наиболее удобно считать, что ft2 имеет отрицательную мнимую
добавку -ДО, так как в этом случае пределы функций D\ и D2 совпадают с
причинной функцией Dc(x), и для полной функции Грина
102
ГЛ, III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
в лоренцевой калибровке мы получаем явно ковариант-ное выражение
Одновременно функции Грина, фигурирующие в разложении определителя det ML
в ряд теории возмущений, также становятся причинными, а сам определитель
становится комплексным функционалом от зФр.
Подчеркнем еще раз, что конкретная регуляризация, использованная здесь,
не является единственно возможной. Например, при замене k2 -> k2 + Ю, мы
получили бы антихронологические функции Грина для нефизических
поляризаций, и мнимая часть определителя поменяла бы знак. При этом,
однако, функция Грина DpV потеряла бы явную ковариантность.
Приведенные довольно длинные рассуждения привели нас к следующему ответу
на поставленный выше вопрос: все обходы полюсов функций Грина можно
считать фейнмановскими, т. е. считать, что \!k2 интерпретируется, как (?2
+ Ю)-1. Таким образом S-матрица в лоренцевой калибровке имеет вид
параметризованные амплитудами а^(&) и a* (k) такими, что
причем в s&in задана амплитуда ai{k) (сходящаяся волна), а в ^out "'а1(*)
(расходящаяся волна).
Аналогичный вывод формулы (3.13) для S-матрицы можно было бы дать,
отправляясь от гамильтоновой ка-
d?v(*) 'wS(fillv
k2 + iO J k2 + iO
¦)
e~lkx dk. (3.37)
S = N'
/->Tco
X П AtH6(^)d^, (3.38)
X
где бФ in - решение уравнений
? ^ = 0, = 0,
(3.39)
a0 = 0, klal = 0; a* = 0, kfl] - 0, (3.40)
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ 103
либровки s&o = 0. Единственное отличие состоит в том, что, во-первых,
интеграл на поверхности
