Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
X
для вычисления которого надо найти экстремальное значение показателя
экспоненты. Уравнения
<3v (,ЭуА1к - дkA[) + А + dkXl = 0, dv(dvAl0-doAlv) + J о = 0; дкА1к = 0
переписываются в виде
? А{ + (дкХ1 + дод кА1й) + 4 = 0,
(2.52)
А Ло - /о - 0; 3^ = 0
(2.53)
и однозначно решаются при сформулированных выше граничных условиях. При
этом можно считать, что источник J удовлетворяет условию поперечности
д Л = 0. (2.54)
В результате решение дается формулой
Al(x)=\jD{lv(x - y)Jtv(y)dy, (2.55)
где D?v(х) - только что введенная кулоновская функция распространения.
Явное выражение для D^v показывает, что распространяются во времени
только трехмерно поперечные составляющие что согласуется с нашими
граничными условиями.
§ 2, ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
89
Недостатком диаграммной техники в кулоновской калибровке является
отсутствие явной релятивистской инвариантности. В следующем параграфе мы
покажем, что в интеграле (2.46), определяющем S-матрицу, можно перейти к
явно ковариантной калибровке.
Мы закончим этот параграф описанием альтернативной гамильтоновой
формулировки теории Янга - Миллса, используя калибровочное условие Л0 =
0. Эта калибровка выгодно отличается от кулоновской тем, что она является
допустимой и вне рамок теории возмущений. Покажем, что в каждом классе
калибровочно-эквивалентных полей содержится поле, удовлетворяющее условию
^о = 0. (2.56)
Для этого заметим, что уравнение
JL со (*, /) = - со (х, t) М0 (х, 0 (2.57)
допускает решение вида
со0 (*,/) = Т ехр | - ^ .5^0(л:, s)t/s|, (2.58)
где символ Т означает, что экспоненту надо упорядочить
по времени. Из уравнения (2.57) следует, что
= (Оо^цЮо 1 + (ЭцСОоИо 1 (2.59)
удовлетворяет условию
^о" = 0. (2.60)
Наряду с матрицей соо(х) аналогичным свойством обладают матрицы а>(х)
вида
со (х) - со (ж) со0 (*), (2.61)
где со (дс)-произвольная матрица из Q, зависящая только от
пространственных координат. Таким образом, гамильтонова калибровка не
уничтожает полностью калибровочный произвол в определении поля Янга -
Миллса, а сводит калибровочную группу к группе матриц со (ж).
90
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
Покажем теперь, что уравнения движения в калибровке s?0 - 0 фактически
являются гамильтоновыми. Для этого удобно использовать формулировку
уравнений движения в виде уравнений первого порядка, следующими из
лагранжиана (2.1):
^ -ф g ["S^|x, ^~tiv =
^v] = 0. ( }
Посмотрим на эти уравнения в трехмерной формулировке. В обозначениях ц =
(0, &), v = (0,/) и т. д. 10 уравнений (2.62) перепишутся в виде
до@~ok - д[^~ik - g [st-i, ik],
доs4-k -- &ш,
(2.63)
ik - dkS&i - diS&k + g [s&i, $?k\>
(x) = dk3Tok - g [s4-k, &oft] = 0.
Исключая переменные 2Г ik с помощью уравнений движения, видим, что
система уравнений (2.63) имеет явно гамильтонов вид
ЬН
доЕак (х, t) = - 7 = {Я, El (х, t)},
6А% {х, t)
6 Я ... (2-64)
doAl (х, t) = = {Я, At {х, 0},
6(х, 0
Я - ^ h d3x,
где использованы введенные выше обозначения для Ek, h и скобки Пуассона.
Последнее уравнение
"'(*,0 = 0 (2.65)
представляет собой уравнение связи. Как мы уже видели, скобка Пуассона
{Я, "'(x, t)} исчезает,
{Я, V (х, 0} = до(r) (х, 0 = 0, (2.66)
так что (х, t) порождает бесконечный набор интегралов движения.
Покажем, что 'ё'(х) являются генераторами инфини-тезимальных
калибровочных преобразований, оставшихся после наложения калибровочного
условия s4-o = 0. Для этого произвольной матрице а(я) в присоединен-
§ 2, ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
91
ном представлении группы ?2 (я) сопоставим величину С (а)
С (а) = - у tr | ^ (л:) а (л:) d3x |. (2.67)
Перестановочные соотношения (2.7) в этих обозначениях переписываются в
виде
{С (a), C(P)} = gC([a, р]). (2.68)
Это показывает, что С (а) задает представление алгебры Ли группы
калибровочных преобразований, состоящей из матриц а(х). Действие этого
представления на переменные и 3*1 (х) дается формулой
6^1 = {С (a), s4-i (*)} = <Э,а (ж) - g (ж), а (ж)],
63k = {С (а), (ж)} = - g [3k (х), а (ж)]. (2'69)
Итак, действительно, С (а) являются генераторами калибровочных
преобразований, оставшихся в гамильтоновой калибровке.
В соответствии с принципом относительности наблюдаемые величины 0(s4-
k,3k) калибровочно-инвариантны и, следовательно, должны коммутировать с С
(а). Это условие представляет собой систему дифференциальных уравнений
первого порядка, для которой соотношение (2.68) играет роль условия
интегрируемости, и выражает одну из шести функций s^k, к, от которых
зависит О, через остальные. Вместе с условием связи (2.65) это сводит
число независимых функций к четырем, что согласуется с подсчетом степеней
свободы в кулоновской калибровке.
Посмотрим, как эта классическая картина переносится на квантовый случай.
В операторной формулировке гамильтониан, связи С и наблюдаемые О
становятся операторами, удовлетворяющими соотношениям
l[C(a), C(fJ)] = gC([a, р]),
[Н, С (а)] = 0; [О, С (а)] = 0. (2'70)
Мы не можем положить прямо оператор С равным нулю, однако формулы (2.70)
