Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
= 0 не зависит от .s^, так что Ан - 1 и, во-вторых, при замене
следует использовать условие
d0co (х, t) = 0 при t = t' и t = t", (3.41)
так что полная функция распространения D^v строится при помощи функции
Грина Ьг- Окончательный результат для 5-матрицы очевидно совпадает с
полученным выше.
Полученная формула (3.38) не является единственно возможным
релятивистски-инвариантным выражением для 5-матрицы. Интегрирование по
калибровочно-эквивалентным классам можно реализовать не только путем
выбора представителя в каждом классе при помощи условия калибровки.
Анализ нашего перехода от кулоновской калибровки к лоренцевой показывает,
что в формуле (3.2) не обязательно использовать в качестве
подынтегрального выражения функционал типа б-функнии. Вместо нее можно
взять любой не калибровочно-инвариантный функционал B(s&), для которых
сходится интеграл
Ав1 (а) = 5 [В 0")] П (3.42)
X
В результате возникнет континуальный интеграл для 5-матрицы, в котором б
(5^3^^) det ML(s&) заменится на Ab(s?,i)B (s&ц). Выбирая в качестве B(s&)
функционал
ехр { - ^ tr rfAc}, (3.43)
мы получим семейство свободных функций Грина Z)"v 1 f Г VMl-a)) 1
Aiv (х) = - -^-р- J е 1 х { ?hv w+lo j k2 + ?0 ' (3-44)
которое содержит наиболее употребительные частные случаи: при a = 0 мы
возвращаемся к лоренцевой калибровке, а при а = 1 получаем диагональную
функцию Грина.
1G4
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
Приведем формальные рассуждения, наиболее просто реализующие эту
программу. Перейдем сначала от лоренцевой калибровки к обобщенной
лоренцевой калибровке
(а) = а (х), (3.45)
где а(х)-произвольная матричная функция, используя те же рассуждения, что
и при переходе от кулоновской калибровки к лоренцевой. Соответствующий
функционал Aa(s&), определяемый формулой
[Да (^)Г1 = ^ П 6 ~ а Mld(r) • (З-46)
X
на поверхности
= а (х) (3.47)
совпадает с функционалом det М, где оператор М вводится формулой
(3.15). Таким образом, производящий
функционал (3.38) для S-матрицы тождественно пере-
писывается в виде
S = ЛГ1 ^ ехр {г ^ х dx | X
out
(3-48)
X
Поскольку исходный функционал не зависит от а, мы можем его
проинтегрировать по а(х) с весом
ехр | - i ^ а2 (х) dx j, (3.49)
что приведет лишь к изменению нормировочного множителя N.
Выполняя интегрирование, получаем произ-
водящий функционал для S-матрицы в виде
S = N~l ^ ехр | i ^ tr [у (<Эц^)2] dx j X
out
X П det M dsfi. (3.50)
X
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ 105
Расширяя понятия калибровочного условия, будем называть этот функционал
5-матрицей в а-калибровке.
Разложение этого функционала в ряд теории возмущений порождает
диаграммную технику с функциями Грина (3.44). Чтобы сделать эти
рассуждения вполне строгими, необходимо, как и выше, более внимательно
следить за граничными условиями. Мы не будем здесь этого делать и
ограничимся лишь указанием, что все функции Грина можно выбирать
причинными. Более подробно эквивалентность 5-матриц в различных
калибровках будет обсуждаться в следующей главе в связи с проблемой
перенормировки.
Можно ввести калибровки еще более общего вида, для которых продольная
часть функции Грина поля Янга - Миллса является произвольной функцией k2,
Для этого достаточно использовать в качестве функционала В (А) выражение
типа ехр { -tr [/ (?) d^A^f dxj,
где /(?)-произвольная функция от оператора Д'Алам-бера. Все рассуждения,
проведенные выше для случая f = 1, без каких-либо изменений переносятся и
на этот случай. Калибровки такого типа будут использоваться в дальнейшем
при обсуждении регуляризации и перенормировки.
Выражение (3.50) для 5-матрицы содержит нелокальный функционал det М и
потому не имеет привычного вида интеграла от фейнмановского функционала
ехр {t X действие} по всем полям. Мы можем, однако, использовать для det
М интегральное представление
det М == ^ ехр j i jj са (х) МаЬс6 (х) dx j Д cfc dc, (3.51)
X
где с(х) и с(х) -антикоммутирующие скалярные функции (образующие алгебры
Грассмана). Граничные условия для с, с, приводящие к уже сделанному нами
выбору М, имеют фейнмановский вид
<>) = о. *?>>"0,
<п(*) = °, <"(*) = 0,
(3.52)
106
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
где d, g, d*, g* вводятся обычными формулами:
Используя это представление, перепишем формулу (3.50) для S в виде
Ценой введения фиктивных полей с, с нам удалось учесть принцип
относительности так, что 5-матрица, представляется в виде интеграла от
ехр {i'X действие}, где действие локально и имеет невырожденную
квадратичную форму, а интегрирование ведется по всем полям. Это позволяет
развить для функционала (3.54) теорию возмущений так же, как это было
сделано в предыдущей главе для случая скалярного поля, отправляясь от
гауссова интеграла.
С этой целью введем производящий функционал для функций Грина
(3.53)
5 - ЛП1 ^ ехр {I J tr [1 ± (d^f -
-ус(Пс -[^ц, с])] dx | Д ds? dc dc, (3.54)
X
где при /-> ± оо
c_>cin. С-*Cin, с = cata. (3.55)
ЛИ+ Л1|| Л11 +
out out out
