Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 (/й, i, l) = N 1 ^ exp {/ ^ &a (x) +
+ + laca + ca|a] dx | JJ dst- dc dc =
X
X exp I - Y ) Ыц W [X - У) jv (У) -t-
+ 2?a (jc) Dah (x-y)t (y)] dxdy}, (3.56)
§ 3, КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ 107
где /J, |а, |а - источники полей А", са, са, причем ?а и антикоммутируют
между собой и с полями са, сь и
производные по g считаются левыми, а по ? правыми. В интеграле (3.56) все
переменные интегрирования удовлетворяют фейнмановским граничным условиям.
Разложение функционала Z в ряд теории возмущений порождает диаграммную
технику. Перечислим ее элементы, используя сразу импульсное
представление.
1. Пропагатор векторных частиц
р,а \,Ь _____
= - Igtabe [(р - k)p g-Mv + (k - q)Д gvp + (q-p)vg"p], (3.59)
"Н tacetbde (gpvSpo g\ia§pv) ~Ь ^ade^cbe (gppgav gpvffap)}¦
V (stp, с, с) = У tr ^ {2g (dvS4-V - dv^v)\st-p, s?v] +
+ g2 (Иц, s*y] )2 + gc<?n Wp, c]} dx\ (3.57)
P
2. Вершины самодействия векторных частиц Pv.b
(3.60)
108
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
3. Пропагатор фиктивных с-частиц
а ъаь . ьа" /п",ч
=D = (3.61)
4. Вершина взаимодействия фиктивных с-частиц с полем Янга - Миллса
= VccA = ^ tabc (k - q)". (3.62)
Каждая диаграмма, построенная через эти элементы, определяет вклад в
функции Грина Gn,m(kь ... ..., kn\pi....рт) с п внешними концами для
вектор-
ных частиц и т концами фиктивных с-частиц. Вклад данной диаграммы входит
с множителем
<3-м>
где V - число вершин, I - число внутренних линий, г - порядок группы
симметрии диаграммы и s - число замкнутых петель из фиктивных частиц.
S-матрица вычисляется по функциям Грина при помощи формул приведения:
s,, /ж(^
X0(-?lo)...e(-6moK\...<"X X ... llnVl... Vjjj {К • • • ?"> ... km)
...
kj =0
(3.64)
В этой громоздкой формуле мы умножили каждую внешнюю векторную линию с
импульсом k на k2 и вектор поляризации и^ = (0, u{), i= 1, 2, а затем
перешли на массовую поверхность k2 = 0, считая, что km > 0 для
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
109
каждой входящей частицы и й,0 < 0 для каждой выходящей частицы. Фиктивные
частицы не имеют соответствующих внешних линий и входят в 5-матрицу
только через замкнутые петли.
§ 4. Взаимодействие с полями материи
Включение полей материи ф(х) во взаимодействие с полем Янга - Миллса
s&^x) не вносит новых трудностей в проблему квантования. Калибровочная
группа действует на поле s^^x) при помощи тех же формул, что и без полей
материи. Поэтому калибровочное условие, наложенное только на поле ^^(х),
фиксирует выбор представителей в классах калибровочно-эквивалентных полей
s4-^(x), ф (х). Это показывает, что в определении 5-матрицы для этих
полей в соответствующем континуальном интеграле можно интегрировать по
полям ф по уже вычисленной ранее мере (например, Ц dq> (х) -
X
для скалярного поля, Д йф (л:) йф (х) - для спинорного
Я
поля), а в качестве меры для полей s4-ц взять одну из мер, вычисленных в
предыдущем параграфе, для поля Янга - Миллса в пустоте. Строгий вывод
должен быть основан на гамильтоновой формулировке динамики и повторяет
уже не один раз проведенные рассуждения.
В то же время калибровочное условие можно наложить и на поле материи ф.
Это бывает удобно, в частности, при квантовании моделей со спонтанно
нарушенной симметрией. Один пример такого условия будет рассмотрен ниже.
Начнем с примера взаимодействующих полей Янга - Миллса и спинорного поля.
Лагранжиан
& = -gjr tr {^nv^nv} + гфУ|^р.ф - щфф (4.1)
инвариантен относительно калибровочного преобразования
ф {х) -> Г (а) ф (х); .sly, -> = ю^со-1 -j- дцсош-1. (4.2)
Гамильтоново калибровочное условие
s&q -- 0
(4.3)
но
ГЛ, III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
является допустимым и приводит уравнения движения к обобщенной
гамильтоновой формулировке (с естественной модификацией, принимающей во
внимание антикоммутативность полей ф, ф)
=тзк ={к- а"г"=- таг={л- (4.4)
ад = -1 ={и, +}, ад'-t =. {А,
где ф* = фу0
h ~ \ [гг^/е - ^ У + ^2°к + &х-
(4.5)
Кроме того, среди уравнений движения содержатся связи Са (х) = dkFak0 -
tabcAbkFcok + /фуоГ (Г) ф, (4.6)
отличающиеся от (2.63) последним слагаемым, которое строится через поля
материи. Заметим, что это слагаемое представляет собой 0-компоненту тока
/цй = фУдГ(Г)ф, (4.7)
который сохраняется при выключенном взаимодействии. Соотношения
{С"(*), Cb(y)} = tabc6(x-y)Cc(x),
{А, Са} = 0;
{Са (х) А\ (у)} = 6аЬдк6 (х-у)- tacbA%b (х - у), (4.8) {Са(х), Ф(^)} =
Г(Г)ф(дс)д(х-^);
{Са (х), ф (у)} •= - Г (Г) ф (*) б (х - у),
аналогичные (2.66), (2.68) и (2.69), показывают, что Са(х) является
генератором калибровочных преобразований, которые остались после
наложения калибровочного условия s&o = 0. Параметры аа этого
преобразования не зависят от х0.
Поля материи входят в Са(х) квадратично, так что на решениях свободных
уравнений движения связь линеаризуется при t -> оо,
Ca{x)[t^Cl{x), (4.9)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
111
где
Со = dkFfo. (4.10)
В результате, повторяя рассуждения из § 2, мы приходим к выводу, что в
