Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 23

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 67 >> Следующая

/Ис1 {х, у) определено интегральным уравнением
1,-1 Об/ v 1 б°* .
Me (X, у) = :-----------------1-{-
° \ 4Л | х _ у I I
+ 4?'"*т!Штд'МёШ<г, I) (2-36)
и может быть вычислено итерациями в виде формального ряда по g. (Заметим,
что для больших полей Ak оператор Мс может иметь нулевое собственное
значение, так что Мс' перестанет существовать. Этот вопрос, однако,
выходит за рамки теории возмущений, и мы не будем его здесь обсуждать.)
Вид дополнительного условия (2.33) подсказывает, что для нахождения
координат q* удобно использовать ортогональное разложение $Фк
= + s4l (2.37)
на продольную и поперечную компоненты. Здесь
= дк(r) (х)\ Я(х) = ±\ \хХ_у\ д^к (у) dy, (2.38)
где
dkstl = 0. (2.39)
Ясно, что роль q* играют поперечные компоненты s&l (х). Сопряженные с
ними импульсы - это поперечные составляющие S'l(x). Уравнение связи
представляет собой уравнение для продольной части &>к (х). Если положить
%k{x) = dkQ{x), (2.40)
то уравнение связи запишется в виде
А й-g [бФк, dkQ] -glak, %l\ = 0, (2.41)
в котором участвует уже знакомый нам оператор Мс-
Это уравнение позволяет выразить продольную состав-
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
85
ляющую через и s&l. После подстановки решения в гамильтониана h{s&,(o) мы
получим гамильтониан h*(s?T,(gT) в виде бесконечного ряда по константе g.
Переменные s4-T, <?т и гамильтониан h* являются истинными гамильтоновыми
переменными для поля Янга - Миллса. Полевая конфигурация при
фиксированном времени t задается двумя функциями от х. Это значит, что
поле Янга - Миллса имеет два возможных состояния поляризации.
Теперь мы можем написать 5-матрицу для поля Янга - Миллса через
континуальный интеграл
5 = lim ^ ехр / i ^ d3k - Г У* af (A, t") а\ (A, t") +
J ( J Ь( = Ц2
t"
+ af (A, f) a\ (A, t')\ + i ^ dt ^ d3x [(- X
t'
X tr (Jt, t)dj(x, t)-&\{x, t)s?](x, /)] -
(2-42)
/)=7^ 2 \[eikx°Uk' о"!(*) +
¦A*
где
/ = 1, 2
+ e~ikxaf (A, t)u\ (- Щ~гг,
(2.43)
' {X' t] = S2 S {k' t] (ft) +
+ e~lkxaf (A, t) u\ (- A)] -'v/t0 fk
V2
и u\{k), i = 1, 2 - два вектора поляризации, в качестве которых можно
взять два произвольных ортонормиро-ванных вектора, ортогональных вектору
А. Здесь считается, что выполняются асимптотические условия
af (A, i") ¦ -> еш"а*ь (А); а\ (А, /') , _j е~ш'а\ (А).
(2.44
86
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА- МИЛЛСА
Эта формула не очень удобна для построения диаграммной техники, поскольку
гамильтониан h* известен лишь в виде ряда по константе g и порождает к
тому же нелокальные по пространственным координатам вершины. Конечно, это
чисто техническая трудность, но она сильно затрудняет практические
вычисления, в частности, проведение программы перенормировок. Отмеченный
недостаток исчезает, если мы воспользуемся представлением для S-матрицы в
виде интеграла по всем функциям S6i(k,t), &t(k,t)\
¦ lim
Г-" оо t' -оо
^ ехр | i ^ d3k? af (ft, t")a\ (ft, t") +
t"
-f af (ft, t') ab. (ft, /') 1 + i ^ dt ^ d3x X
с
X (- -f) tr i (*> 0 (*> 0 - (ж. О ¦Я'ч (ж, 0 -
-"¦?(*, о-2? (*, /) + 2^о(а^,-г[^, <^])]}х X Д б (5,^i) det Мс [^] Д dstt
d&t dst0. (2.45)
X, t X, t
Здесь граничные члены а( (ft, t"), а,-(ft, t') определены теми же
формулами, что и выше, т. е. строятся по поперечным полям s&J.
Теперь мы можем проинтегрировать по импульсам ь, с учетом граничных
условий, так же как мы сделали в главе II для случая скалярного поля. В
результате получаем для нормального символа S-матрицы
S = N-1 ^ ехр | г ^ dx Д tr^v^v] | X
X Д б (дМ Д det Мс [Щ Д d(2.46)
где интегрирование ведется по всем полям х), причем фиксировано
асимптотическое поведение их
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
87
(2.47)
> ill
out
и соответствующим образом доопределена квадратичная форма действия. В
формуле (2.46), так же как и в случае скалярного поля, интегрируется
фейнмановский функционал ехр {г X действие}. Однако интегрирование
ведется не по всем полям. Мера интегрирования явно содержит 6-функцию от
калибровочного условия. Это является проявлением принципа
относительности, согласно которому нужно интегрировать не по всем полям,
а лишь по классам калибровочно-эквивалентных полей; 6-функция отбирает по
одному представителю в каждом классе, а определитель обеспечивает
правильную нормировку меры интегрирования. Асимптотические условия также
согласованы с выбором калибровочного условия.
Разложение интеграла (2.46) в ряд теории возмущений порождает диаграммную
технику. Пропагатор определяется гауссовым интегралом
J (J) = N 1J ехр {/ J dx tr [у (ду&ц - d^v)2 - у 3^ J ] X
ХП (2.48)
X
с фейнмановскими граничными условиями на S&1. Этот интеграл равен
ехр | у ^ /ц (*) ?& (х - у) (у) dx dy }, (2.49)
88
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
где D?v - искомый пропагатор:
(k2 + /0)"' dk,
Dmo (x) = Dam (x) = 0; (2.50)
Dm (x) = - -^yr ^ e~tkx ргр"dk-
Для доказательства воспользуемся интегральным представлением 6-функции
(II. 5.18). Тогда I (J) задается гауссовым интегралом
/ (У) = ЛГ1 ( ехр {; 5 Л [-1 GMi - d"Aif +
+М+^л;]}п dA^dl, (2.51)
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed